Foarbyldfragen en diskusje: Fariaasje en standertôfwiking fan ienkele gegevens
Statistyk is in tûke fan wiskunde dy't him dwaande hâldt mei it sammeljen, analysearjen, ynterpretearjen, presintearjen en organisearjen fan gegevens. Twa wichtige konsepten yn statistyk binne fariânsje en standertôfwiking. Dit artikel sil yn detail beprate hoe't de fariânsje en standertôfwiking fan in inkele dataset berekkenje kinne troch ferskate foarbyldproblemen.
Fariânsje en standertôfwiking begripe
Fariânsje is in mjitte dy't kwantifisearret hoe fier de sifers yn in dataset ferspraat binne fan it gemiddelde of gemiddelde. Fariânsje wurdt útdrukt yn fjouwerkante ienheden fan 'e orizjinele gegevens, wêrtroch it faak lestich te ynterpretearjen is.
De standertôfwiking is de fjouwerkante woartel fan 'e fariânsje. It jout in mear yntuïtive mjitte fan hoe fier't de gegevens oer it algemien ôfwike fan it gemiddelde, om't de ienheden itselde binne as de orizjinele ienheden fan 'e gegevens.
Algemiene formule
Foar ienkele gegevens is de formule foar de fariânsje \( \sigma^2 \) en standertôfwiking \( \sigma \) fan 'e populaasje as folget:
1. Fariânsje (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standertôfwiking (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Wêr:
– \(N \) is it oantal gegevens yn 'e populaasje.
– \(x_i \) is de i-de gegevenswearde.
– \( \mu \) is it gemiddelde of gemiddelde fan 'e gegevens.
As wy de fariânsje en standertôfwiking fan 'e stekproef berekkenje, dan wurdt de boppesteande formule wat oanpast:
1. Stekproeffariânsje (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2)
2. Stekproefstandertôfwiking (s):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
Wêr:
– \(n \) is it oantal gegevens yn 'e stekproef.
– \( \bar{x} \) is it gemiddelde of gemiddelde fan 'e stekproef.
Foarbyldfragen en diskusje
Foarbyldfraach 1:
Mei de folgjende gegevens:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Berekenje de fariânsje en standertôfwiking fan 'e gegevens!
Oplossingsstappen:
1. It berekkenjen fan it gemiddelde (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Bereken it ferskil tusken gegevens en it gemiddelde, en fergelykje it dan mei it kwadraat:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Alle kwadraten fan resultaten optelle:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Fariânsje (σ²) fan populaasjegegevens berekkenje:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Opmerking: Omdat dizze gegevens as befolkingsgegevens wurde oanjûn, diele wy troch 6.
5. Standertdeviaasje berekkenje (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Dat betsjut dat de fariânsje fan 'e gegevens 3.559 is en de standertôfwiking 1.886.
Foarbyldfraach 2:
Mei de folgjende foarbyldgegevens:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Berekenje de fariânsje en standertôfwiking fan 'e stekproef!
Oplossingsstappen:
1. It berekkenjen fan it gemiddelde (Mean) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Bereken it ferskil tusken gegevens en it gemiddelde, en fergelykje it dan mei it kwadraat:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Alle kwadraten fan resultaten optelle:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Berekkening fan de stekproeffariânsje (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Opmerking: Omdat dit foarbyldgegevens binne, diele wy troch 5 (n-1).
5. Standertôfwiking (s) berekkenje:
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Dat betsjut dat de fariânsje fan 'e stekproefgegevens 5.351 is en de standertôfwiking 2.313.
Konklúzje
It berekkenjen fan fariânsje en standertôfwiking is essensjeel foar it begripen fan hoe ferspraat gegevens binne binnen in bepaalde set. Wylst fariânsje in teoretyske mjitte fan fersprieding jout yn kwadraten fan 'e orizjinele ienheden, ynterpretearret standertôfwiking de mjitte fan fersprieding yn termen fan 'e orizjinele ienheden fan' e gegevens, wêrtroch it makliker te begripen is. Yn gegevensanalyse wurde dizze twa mjittingen faak brûkt om gegevensfariabiliteit te beoardieljen en statistyske besluten te nimmen.
Troch de nedige stappen en formules te begripen, kinne wy maklik fariânsje en standertôfwiking berekkenje foar ferskate situaasjes dy't wy tsjinkomme by it deistige gegevensferzameljen en -analyse. Hopelik jout dit artikel in djipper begryp fan 'e konsepten fariânsje en standertôfwiking yn ienige datasets.
