Foarbyldfragen oer fariânsje en standertôfwiking fan groepsgegevens
Pendahuluan
Yn statistyk binne fariânsje en standertôfwiking twa statistyske mjittingen dy't krúsjaal binne foar it begripen fan 'e fersprieding, of fersprieding, fan gegevens fan it gemiddelde. Fariânsje mjit hoe fier de gegevens ferspraat binne fan it gemiddelde, wylst standertôfwiking de fjouwerkante woartel fan 'e fariânsje is, wat in mjitte leveret dy't yn deselde ienheden is as de orizjinele gegevens.
Definysje
– Fariânsje (σ² of S²): Is it gemiddelde fan 'e kwadraten fan 'e ferskillen tusken elke gegevenswearde en it gemiddelde fan 'e gegevens.
– Standertôfwiking (σ of S): Is de fjouwerkante woartel fan 'e fariânsje.
Formule foar fariânsje en standertôfwiking fan groepsgegevens
Foar groepsgegevens brûke wy de frekwinsje fan 'e gegevens yn elke klasse. Hjir is de formule:
Ôfwikselje
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Standertôfwiking
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Wêr:
– \( f_i \) = frekwinsje fan elke klasse.
– \(x_i \) = middelpunt fan elke klasse.
– \( \bar{x} \) = it gemiddelde fan 'e groepsgegevens.
– \(N \) = totaal oantal gegevens.
Foarbyldfragen en diskusje
Stel dat wy gewichtsgegevens hawwe foar in groep minsken dy't groepearre binne yn klassen.
| Gewichtsynterval (kg) | Frekwinsje (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
De earste stap is om it middelpunt fan elke klasse te bepalen (\(x_i \)) en dan it gemiddelde te berekkenjen (\( \bar{x} \)).
1. It middelpunt berekkenje (\(x_i\))
\[ \text{Middelpunt} = \frac{\text{Undergrins} + \text{Boppegrins}}{2} \]
| Gewichtsynterval (kg) | Frekwinsje (f) | Middelpunt (\(x_i\)) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. It berekkenjen fan it gemiddelde (\( \bar{x} \) \)
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Totaal oantal gegevens \( N \):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
[\sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72)\]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Dus, it gemiddelde (\( \bar{x} \)):
[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{25 } = 62.8 \]
3. Fariânsje berekkenje ( \( S^2 \) )
Wy moatte berekkenje ( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 ):
\[
\begin{útlijnje}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{útlijnje}
\]
Fermannichfâldigjen mei frekwinsje:
\[
\begin{útlijnje}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 kear 33.64 = 168.2
& 8 kear 0.64 = 5.12
& 7 \kear 17.64 = 123.48 \\
& 3 kear 84.64 = 253.92
\end{útlijnje}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
No kinne wy de fariânsje berekkenje (\( S^2 \)):
[S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } sawat 32.85 \]
4. Standertôfwiking berekkenje (\(S \))
Standertôfwiking (\(S\)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
[S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
Konklúzje
Fan 'e foarbyldgegevens hjirboppe hawwe wy:
– Berekkening fan it gemiddelde lichemsgewicht: 62.8 kg
– Berekkenjende fariânsje: 32.85 kg²
– Berekkening fan de standertôfwiking: 5.73 kg
De ynterpretaasje fan 'e standertôfwiking is dat de gemiddelde ôfwiking fan 'e gewichtsgegevens fan it gemiddelde sawat 5.73 kg is. Dit jout de fersprieding fan 'e gegevens oan relatyf oan it gemiddelde, wat kin helpe om te konkludearjen hoe fariabel ús gegevens binne.
In yngeand begryp fan fariânsje en standertôfwiking is krúsjaal, foaral foar dyjingen dy't wurkje yn statistyk, ûndersyk en testen, as se besykje gegevens te begripen yn 'e foarm fan groepen of ferdielingen. Witte hoe't jo dizze twa mjittingen berekkenje en ynterpretearje kinne, kin helpe by bettere beslútfoarming basearre op 'e beskikbere gegevens.
