Foarbyld fan in diskusjefraach oer in systeem fan lineêre fergelikingen
Systemen fan lineêre fergelikingen (SLE) is in fûneminteel konsept dat faak yn 'e wiskunde leard wurdt, sawol op it fuortset as it heger nivo. It behearskjen fan SLE is krúsjaal fanwegen syn wiidfersprate tapassing yn ferskate fjilden, fan natuerkunde en ekonomy oant technyk. Yn dit artikel sille wy ferskate foarbylden fan systemen fan lineêre fergelikingen en har oplossingen beprate. Wy sille substitúsje-, eliminaasje- en matriksmetoaden brûke om it begryp te fasilitearjen.
Foarbyldfragen en diskusje
Foarbyldfraach 1: Substitúsjemetoade
Fraach:
Los it folgjende stelsel fan fergelikingen op mei de substituasjemetoade:
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)
Oplossing:
1. De earste stap is om ien fan 'e fergelikingen foar ien fan 'e fariabelen op te lossen. Bygelyks, wy kinne de twadde fergeliking oplosse foar \(x\):
\[x – 2y = -3 \]
\[x = 2y – 3 \]
2. Ferfange \(x = 2y – 3\) yn 'e earste fergeliking:
\[ 2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[ 4y – 6 + 3y = 8 \]
\[ 7y – 6 = 8 \]
\[7y = 14 \]
\[y = 2 \]
3. Set no \(y = 2\) yn 'e fergeliking \(x = 2y – 3\):
\[x = 2(2) – 3 \]
\[x = 4 – 3 \]
\[x = 1 \]
Dat betsjut dat de oplossing foar it stelsel fan fergelikingen is \(x = 1 \) en \(y = 2 \).
Foarbyldfraach 2: Eliminaasjemetoade
Fraach:
Los it folgjende stelsel fan fergelikingen op mei de eliminaasjemetoade:
1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)
Oplossing:
1. De earste stap is om de koëffisjint fan ien fan 'e fariabelen yn beide fergelikingen itselde te meitsjen. Wy kinne de twadde fergeliking mei 2 fermannichfâldigje om de koëffisjint fan \(y\) itselde te meitsjen:
\[ 2(5x – y) = 2(9) \]
\[ 10x – 2y = 18 \]
2. Tel de twa fergelikingen op om \(y\) te eliminearjen:
\[ 3x + 2y + 10x – 2y = 12 + 18 \]
\[ 13x = 30 \]
\[ x = \frac{30}{13} \]
3. Ferfange \( x = \frac{30}{13} \) yn 'e earste fergeliking:
\[ 3\lofts(\frac{30}{13}\rjochts) + 2y = 12 \]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[ 2y = 12 – \frac{90}{13} \]
[2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{66}{13} \]
\[ y = \frac{33}{13} \]
Dat betsjut dat de oplossingen foar it stelsel fan fergelikingen binne \(x = \frac{30}{13} \) en \(y = \frac{33}{13} \).
Foarbyldfraach 3: Matriksmetoade (Gaussyske eliminaasje)
Fraach:
Los it folgjende stelsel fan fergelikingen op mei de matriksmetoade:
1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)
Oplossing:
1. Fergrutte matriksfoarm fan it systeem fan fergelikingen:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & -1 & 3 & | & 14 \\
4 & 2 & -1 & | & 2
\end{pmatrix} \]
2. Gaussysk eliminaasjeproses:
– Feroarje de twadde rige nei it resultaat fan 'e twadde rige minus twa kear de earste rige:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
4 & 2 & -1 & | & 2
\end{pmatrix} \]
– Feroarje de tredde rige nei it resultaat fan 'e tredde rige minus fjouwer kear de earste rige:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & -2 & -5 & | & -22
\end{pmatrix} \]
– Feroarje de tredde rige nei it resultaat fan 'e tredde rige plus twa tredde fan 'e twadde rige:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & -4 & | & -20
\end{pmatrix} \]
– Feroarje de tredde rige nei it resultaat fan 'e tredde rige dield troch -4:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Konvertearje de twadde rige nei it resultaat fan 'e twadde rige plus de tredde rige:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & 0 & | & -3 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Feroarje de twadde rige nei it resultaat fan 'e twadde rige dield troch -3:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
– Feroarje de earste rige nei it resultaat fan 'e earste rige minus de twadde rige en de tredde rige:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & | & 5
\end{pmatrix} \]
Dat betsjut dat de oplossingen foar it stelsel fan fergelikingen binne \(x = 0 \), \(y = 1 \), en \(z = 5 \).
Konklúzje
It begripen fan 'e metoaden foar it oplossen fan systemen fan lineêre fergelikingen is krúsjaal foar it behearskjen fan wiskunde. Substitúsje-, eliminaasje- en matriksmetoaden biede ferskate oanpakken om de juste oplossing te finen. Mei konsekwinte oefening en in goed begryp fan 'e konsepten kin elkenien dizze techniken behearskje en tapasse yn in ferskaat oan konteksten. Hopelik sille de foarbylden dy't yn dit artikel besprutsen wurde lêzers helpe om systemen fan lineêre fergelikingen better te begripen en te behearskjen.
