Foarbyldfragen oer de fergeliking fan in raakline oan in sirkel
Pendahuluan
De fergeliking fan in tangens oan in sirkel is in wichtich ûnderwerp yn analytyske geometry. Begrip fan hoe't jo de fergeliking fan in tangens oan in sirkel kinne bepale, kin helpe by it oplossen fan in breed ferskaat oan wiskundige problemen op tuskennivo oant avansearre nivo's. Dit artikel sil ferskate foarbyldproblemen en metoaden beprate foar it bepalen fan de fergeliking fan in tangens oan in sirkel.
Definysje en basisteory
In sirkel yn it koördinaatflak kin meastentiids werjûn wurde troch in kwadratyske fergeliking:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
wêrby't \((a, b)\) it middelpunt fan 'e sirkel is en \(r\) de straal fan 'e sirkel is.
In raakline oan in sirkel fanút in ekstern punt is in line dy't de sirkel op presys ien punt rekket. As wy oannimme dat de line de fergeliking hat:
\[y = mx + c \]
dan kin de betingst dat de line \(y = mx + c\) tangens oan 'e sirkel sil wêze útdrukt wurde yn 'e folgjende foarm:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Wêr't \(m\) de gradiënt fan 'e tangensline is en \(c\) in konstante is.
Formule foar fergeliking fan 'e tangensline
Foar in raakline oan in sirkel mei middelpunt \((0,0)\) en straal \(r\), is de fergeliking op it punt \((x_1, y_1)\) op 'e sirkel:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Mar as it middelpunt fan 'e sirkel op punt \((a, b)\) is, dan is de fergeliking:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Foarbyldfragen en diskusjes
Fraach 1
In sirkel mei middelpunt op \((3, 4)\) en straal 5 ienheden. Bepale de fergeliking fan 'e tangensline fan it punt \((6, 8)\).
Diskusje:
Yn dit probleem krije wy in sirkel mei in middelpunt fan \((3, 4)\), in straal fan 5, en wy moatte de fergeliking fan 'e tangensline fine fan it punt \((6, 8)\). Hjir binne de stappen om it op te lossen:
1. Ferifiearje dat it punt \((6, 8)\) net binnen de sirkel leit: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Dat punt leit dus op 'e sirkel, sadat it brûkt wurde kin om de raakline te finen.
2. Mei help fan de formule:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Ferfâldigje de fergeliking:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Untwikkelje:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
De fergeliking fan 'e krigen tangensline is:
\[
3x + 4y = 50
\]
Fraach 2
Sirkelje mei fergeliking \[x^2 + y^2 = 16\]. Bepale de fergeliking fan 'e tangensline fan it punt \((4, 0)\).
Diskusje:
In sirkel mei middelpunt op \((0, 0)\) en straal 4 ienheden. It opjûne bûtenste punt is \((4, 0)\).
1. Mei help fan de formule foar in sirkel mei middelpunt \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Weardeferfanging:
\[
4x + 0 ⋅ y = 4^2
\]
3. Fereinfâldigje:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Dat betsjut dat de tangensfergeliking dy't wy hawwe is:
\[
x = 4
\]
Fraach 3
Foarmje in line dy't tangens is oan 'e sirkel \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) yn it punt \((-1, 5)\).
Diskusje:
In sirkel mei middelpunt op \((-2, 3)\) en straal 3 ienheden. It raakpunt is \((-1, 5)\).
1. Ferifiearje dat it punt op 'e sirkel leit:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{net op sirkel}
\]
Sa kin der in flater wêze yn 'e ynfier fan 'e fraach of it punt. As \((-2, 6)\) jûn wurdt as it raakpunt:
2. Fereinfâldigje:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Ferfanging:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Resultaat:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
It docht bliken dat punt & pers.:
y = 6 is perfoarst jildich.
Konklúzje kontrôle kombinaasje, memorearje, 2 manieren om te tellen.
jildich/falsk..Dat Plus gearfetting gar. td 2; foarm falidearje mei (raster). plis perimeter alle dekkingsbûnten.
Dat is alles, tank en ik hoopje dat dit nuttich is foar myn freonen.
Learje derneist it konsept fan it fersterkjen fan begryp.
Dyjingen dy't it earder net begrepen, as God it wol, sille mear detaillearre krityske sjirurgyske stappen hawwe.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{foarkomt}-fu.
"
