Foarbyldfragen en diskusje oer de tapassing fan yntegraal by it berekkenjen fan it gebiet fan in plat flak
Yn it wiskundeûnderwiis komme yntegralen faak foar yn kalkulus. Ien fan 'e bekendste tapassingen fan yntegralen is it berekkenjen fan it gebiet ûnder in kromme of flak. Dit artikel sil ferskate foarbyldproblemen beprate en de tapassing fan yntegralen by it berekkenjen fan it gebiet fan in flak beprate.
Ynlieding ta teory
Foardat wy fierder geane mei it foarbyldprobleem, litte wy it basiskonsept fan it berekkenjen fan it gebiet ûnder in kromme mei yntegraal besjen. As wy in funksje f(x) hawwe dy't kontinu is op it ynterval [a, b], dan is it gebiet ûnder de kromme y = f(x) fan x = a oant x = b:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometrysk betsjut dit dat wy it gebiet fan in tige tinne rjochthoeke optelle fan x = a oant x = b.
Foarbyldfraach 1
Soal
Bereken it gebiet ûnder de kromme y = x² yn it ynterval [1, 3].
Diskusje
Om it gebiet te berekkenjen, brûke wy de yntegraal:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Wy begjinne mei it finen fan de antyderivaat fan \(x^2 \). De antyderivaat fan \(x^2 \) is \( \frac{x^3}{3} \). Dan wurdt de yntegraal:
\[ L = \lofts[ \frac{x^3}{3} \rjochts]_{1}^{3} \]
Tink derom dat wy de antyderivaat moatte evaluearje oan 'e grinzen fan' e yntegraal:
\[ L = \lofter( \frac{3^3}{3} \rjochts) – \lofter( \frac{1^3}{3} \rjochts) \]
\[ L = \lofter( \frac{27}{3} \rjochts) – \lofter( \frac{1}{3} \rjochts) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Dat betsjut dat it gebiet ûnder de kromme y = x² fan x = 1 oant x = 3 is:
\[ \frac{26}{3} \, \text{oerflakte-ienheid} \]
Foarbyldfraach 2
Soal
Bepale it gebiet fan it gebiet begrinzge troch de kromme y = x³ en de linen x = 1 en x = 2.
Diskusje
Om it gebiet te berekkenjen, brûke wy de yntegraal:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Lykas gewoanlik begjinne wy mei it finen fan de antyderivaat fan \(x^3 \). De antyderivaat fan \(x^3 \) is \( \frac{x^4}{4} \). De yntegraal wurdt:
\[ L = \lofts[ \frac{x^4}{4} \rjochts]_{1}^{2} \]
Evaluearje de grinzen fan 'e yntegraal:
\[ L = \lofter( \frac{2^4}{4} \rjochts) – \lofter( \frac{1^4}{4} \rjochts) \]
\[ L = \lofter( \frac{16}{4} \rjochts) – \lofter( \frac{1}{4} \rjochts) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Dat betsjut dat it gebiet ûnder de kromme y = x³ fan x = 1 oant x = 2 is:
\[ \frac{15}{4} \, \text{oerflakte-ienheid} \]
Foarbyldfraach 3
Soal
Bepale it gebiet fan it gebiet begrinzge troch de krommen y = x² + 1 en y = 2x + 2 yn it ynterval x = 0 oant x = 1.
Diskusje
Earst moatte wy de snijpunten fine om de grinzen fan 'e yntegraasje te bepalen. De oplossing foar \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Mei help fan de kwadratyske formule:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Foar de boppeste en ûnderste grinzen tusken 0 en 1 hoege wy lykwols net de kwadratyske oplossing te brûken, allinich de gewoane yntegraalgrins fan 0 oant 1. Berekkene dêrnei it gebiet fan 'e boppeste y-kromme minus de ûnderste y-kromme neffens dizze grinzen:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Funksje-ferienfâldiging:
[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Folgjende fine wy it antyderivaat:
De antyderivaat fan (-x²) is (-x³}{3),
De antyderivaat fan \( (2x) \) is \( x^2 \),
De antyderivaat fan \((1) \) is \(x \).
Dus dat,
\[ L = \lofts. \lofts(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \rjochts) \rjochts|_0^1 \]
Folgjende evaluaasje:
\[ L = \lofter[-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \rjochts] – \lofter[-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \rjochts] \]
\[ L = \lofts[-\frac{1}{3} + 1 + 1 \rjochts] – \lofts[ 0 \rjochts] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Dat betsjut dat it gebiet fan it gebiet begrinzge wurdt troch de krommen y = x² + 1 en y = 2x + 2 op it ynterval [0, 1] is:
\[ \frac{5}{3} \, \text{oerflakte-ienheid} \]
-
Ut de boppesteande foarbylden kinne wy sjen hoe't yntegralen brûkt wurde kinne om it gebiet ûnder in kromme of tusken twa krommen te berekkenjen. Mei in goed begryp fan 'e basisbegripen fan yntegralen en anty-ôfliedende techniken wurdt it berekkenjen fan dizze gebieten tige systematysk en effisjint. Hopelik hat dit artikel ús begryp fan 'e tapassing fan yntegralen yn 'e echte wrâld fergrutte, benammen op it mêd fan it mjitten fan it gebiet fan platte oerflakken.
