Foarbyldfragen oer de kâns op gearstalde eveneminten
Ynlieding ta de kâns op gearstalde eveneminten
Kânsberekkening is in tûke fan wiskunde dy't de kâns bestudearret dat in barren foarkomt. De kâns op in gearstalde barren is de kâns op in barren dat mear as ien barren omfettet. Bygelyks, de kâns op it smiten fan in even getal op in dobbelstien en in aas út in pak spielkaarten binne foarbylden fan gearstalde barrens. Dit artikel sil ferskate foarbyldproblemen beprate en de kâns op gearstalde barrens beprate.
Basiskonsept fan kâns op gearstalde eveneminten
Der binne twa soarten gearstalde eveneminten:
1. Wjersidich útslutende barrens: Twa barrens dy't net tagelyk foarkomme kinne. Bygelyks, by it smiten fan in dobbelstien binne de barrens fan it smiten fan in 2 en in 5 wjersidich útslutende barrens, om't it ûnmooglik is om beide getallen tagelyk te smiten.
2. Net-ûnderling útslutende barrens: Twa barrens dy't tagelyk foarkomme kinne. Bygelyks, yn in lotting fan spielkaarten binne de barrens fan it krijen fan in hertkaart (♥) en in kaart mei it nûmer 10 net-ûnderling útslutende barrens, om't der in hertkaart is mei it nûmer 10.
Hjir binne wat basisformules dy't brûkt wurde by it berekkenjen fan 'e kâns op gearstalde eveneminten:
– P(A of B) (foar net-ûnderling útslutende eveneminten): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A of B) (foar ûnderling útslutende eveneminten): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A en B) (foar ûnôfhinklike eveneminten): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Foarbyldfragen en diskusje
Foarbyldfraach 1: Dobbelstiennen
Fraach:
Wat is de kâns om in even getal of in getal grutter as 4 op in dobbelstien te krijen?
Diskusje:
Earst, lit ús de eveneminten definiearje:
– Gebeurtenis A: In even getal krije (2, 4, 6)
– Gebeurtenis B: In getal grutter as 4 krije (5, 6)
Folgjende bepale wy de kâns fan elke barren:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Omdat der in sawol barren A as B in getal 6 is, moatte wy \(P(A \cap B)\) berekkenje:
– \(P(A \capB) = \frac{1}{6}\) (omdat mar ien getal, nammentlik 6, yn sawol A as B opnommen is)
Troch de formule te brûken foar net-ûnderling útslutende eveneminten:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Litte wy de neamers fan dizze breuken itselde meitsje:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Dat betsjut dat de kâns om in even getal of in getal grutter as 4 te krijen is \(\frac{2}{3}\).
Foarbyldfraach 2: Spulkaarten
Fraach:
Wat is de kâns om in aas of in skoppe út in pak spielkaarten te krijen?
Diskusje:
Earst, lit ús de eveneminten definiearje:
– Evenemint A: In aaskaart krije (4 yn totaal, ien foar elke kleur)
– Evenemint B: In skoppenkaart krije (totaal 13)
Folgjende bepale wy de kâns fan elke barren:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Omdat de Aas fan Schoppen yn sawol eveneminten A as B opnommen is, moatte wy \(P(A \cap B)\) berekkenje:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Troch de formule te brûken foar net-ûnderling útslutende eveneminten:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Litte wy de neamers fan dizze breuken itselde meitsje:
\[
P(A ⋅ B) = ∫4}{52 + ∫13}{52 – ∫1}{52 = ∫16}{52 = ∫4}{13
\]
Dat betsjut dat de kâns om in aas of in skoppe te krijen is \(\frac{4}{13}\).
Foarbyldprobleem 3: Bal yn in doaze
Fraach:
Yn in doaze binne der 3 reade ballen, 4 blauwe ballen en 5 griene ballen. As ien bal willekeurich lutsen wurdt, wat is dan de kâns om in reade bal of in griene bal te krijen?
Diskusje:
Earst, lit ús de eveneminten definiearje:
– Gebeurtenis A: In reade bal krije (nûmer 3)
– Evenemint B: In griene bal krije (nûmer 5)
Folgjende bepale wy de kâns fan elke barren:
– Totaal oantal ballen = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Omdat gjin bal tagelyk read en grien wêze kin, binne dizze eveneminten ûnderling útslutend:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Litte wy de neamers fan dizze breuken itselde meitsje:
\[
P(A ⋅ B) = ∫3/12 + ∫5/12 = ∫8/12 = ∫2/3
\]
Dat betsjut dat de kâns om in reade bal of in griene bal te krijen is \(\frac{2}{3}\).
Foarbyldfraach 4: Twa munten
Fraach:
As twa munten tagelyk smiten wurde, wat is dan de kâns dat der teminsten ien kop ferskynt?
Diskusje:
Wy definiearje Gebeurtenis A: it belibjen fan teminsten ien ôfbylding.
Der binne fjouwer mooglike útkomsten fan it smiten fan twa munten:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Eveneminten dy't teminsten ien ôfbylding befetsje binne:
– HT
– TH
– TT
Litte wy de kâns fan elk berekkenje:
– Oantal mooglike eveneminten (totaal): 4
– Oantal eveneminten mei teminsten ien ôfbylding: 3
\[
P(A) = \frac{Oantal eveneminten mei teminsten ien kop}{Totaal oantal eveneminten} = \frac{3}{4}
\]
Dat betsjut dat de kâns dat teminsten ien ôfbylding ferskynt \(\frac{3}{4}\).
Konklúzje
De diskusje fan 'e boppesteande problemen lit sjen hoe't wy de kâns op in gearstalde barren berekkenje kinne, oft it no ûnderling útslutend of net ûnderling útslutend is. Troch de basisbegripen te begripen en de juste formules te brûken, kinne wy de kâns bepale dat bepaalde kombinaasjes fan eveneminten foarkomme yn ferskate deistige situaasjes. Bliuw jo feardigens oefenje mei ferskate problemen om better te wurden yn it bepalen fan 'e kâns op gearstalde eveneminten.
