Foarbyldfragen oer de ferwachte wearde fan 'e normale ferdieling
De normale ferdieling, ek wol bekend as de Gaussyske ferdieling, is ien fan 'e meast brûkte trochgeande kânsferdielingen yn statistyk en kânsberekkening. Dizze ferdieling wurdt faak brûkt as in basisoanname yn ferskate statistyske ynferinsjes fanwegen syn geunstige wiskundige eigenskippen, lykas symmetry en syn unykens yn parameterisaasje mei in gemiddelde (µ) en standertôfwiking (σ). Dit artikel sil foarbylden beprate en de ferwachte wearde fan 'e normale ferdieling beprate om in djipper begryp fan dit konsept te jaan.
Normale ferdieling begripe
De normale ferdieling wurdt ôfbylde troch in symmetryske klokkromme, mei de measte wearden konsintrearre om de middelste wearde, of it gemiddelde. Binnen dizze ferdieling binne it gemiddelde (µ) en de standertôfwiking (σ) twa wichtige parameters dy't de lokaasje en de hoemannichte fersprieding yn 'e gegevens bepale.
De kânsdichtheidsfunksje (PDF) fan 'e normale ferdieling is:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2π\sigma^2}}\]
Wêr:
– \( \mu \) is it gemiddelde of gemiddelde
– \( \sigma \) is de standertôfwiking
– \(x \) is in willekeurige fariabele
Ferwachte wearde yn normale ferdieling
De ferwachte wearde fan in willekeurige fariabele mei in normale ferdieling is gelyk oan it gemiddelde fan 'e ferdieling. As \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), dan is de ferwachte wearde \( E(X) \):
[E(X) = μ]
Litte wy trochgean mei wat foarbylden fan problemen oangeande ferwachte wearden yn normale ferdielingen om ús begryp te fersterkjen.
Foarbyldfragen en diskusje
Foarbyldfraach 1:
Stel dat \(X \) in normaal ferdielde willekeurige fariabele is mei \(\mu = 50 \) en \(\sigma = 10 \). Bereken de ferwachte wearde fan \(X \).
Diskusje:
Lykas earder neamd, is yn in normale ferdieling de ferwachte wearde \(E(X) \) gelyk oan \(\mu \). Dus,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
Foarbyldfraach 2:
Jûn in stochastyske fariabele is \(Y \) normaal ferdield mei \(\mu = 120 \) en \(\sigma = 15 \). Fyn de ferwachte wearde fan \(Y \).
Diskusje:
Lykas yn it earste foarbyld is de ferwachte wearde fan \(Y \) de middelste wearde of it gemiddelde fan 'e normale ferdieling, nammentlik:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
Foarbyldfraach 3:
As de willekeurige fariabele \(Z \) in normale ferdieling folget mei \(\mu = 0 \) en \(\sigma = 1 \) (standert normale ferdieling), wat is dan de ferwachte wearde fan \(Z \)?
Diskusje:
De standert normale ferdieling hat in gemiddelde fan 0, dus de ferwachte wearde E(Z) is:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Foarbyldfraach 4:
Stel dat \(W \) in normaal ferdielde willekeurige fariabele is mei in gemiddelde \(\mu = 75 \) en in standertôfwiking \(\sigma = 20 \). As wy in nije willekeurige fariabele \(V = 2W + 3 \) definiearje, wat is dan de ferwachte wearde fan \(V \)?
Diskusje:
Om de ferwachte wearde fan \(V \) te finen, moatte wy de lineariteitseigenskip fan 'e ferwachte wearde brûke. Jûn \(V = 2W + 3 \), dan:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Op basis fan 'e lineariteitseigenskip fan 'e ferwachte wearde kinne wy de konstante skiede fan 'e willekeurige fariabele:
\[ E(V) = 2 E(W) + E(3) \]
Wittende dat de ferwachte wearde fan in konstante de konstante sels is:
\[ E(3) = 3 \]
En de ferwachte wearde fan \( W \) is it gemiddelde fan 'e normale ferdieling \( W \):
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Sa,
\[ E(V) = 2 \times 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Foarbyldfraach 5:
De willekeurige fariabele Q folget in normale ferdieling mei in gemiddelde fan µ = 40 en in standertôfwiking fan 5. Wat is de ferwachte wearde fan Q as U = Q/2?
Diskusje:
Wy brûke itselde prinsipe as yn foarbyld 4, nammentlik de lineariteitseigenskip fan 'e ferwachte wearde. Jûn dat \( U = Q/2 \), dan:
\[ E(U) = E\lofts(\frac{Q}{2}\rjochts) \]
Basearre op 'e lineariteitseigenskip fan ferwachte wearde:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Wy witte dat de ferwachte wearde fan \(Q \) it gemiddelde is fan 'e normale ferdieling \(Q \):
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Sa,
[E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Konklúzje
Yn in normale ferdieling is de ferwachte wearde fan in willekeurige fariabele altyd gelyk oan it gemiddelde (µ) fan 'e ferdieling. De foarbyldproblemen hjirboppe demonstrearje ferskate betingsten foar it berekkenjen fan 'e ferwachte wearde mei de lineariteitseigenskip. It begripen fan dit basiskonsept makket it makliker om normale ferdielingsproblemen yn statistyk en kânsberekkening te behanneljen.
De normale ferdieling is krúsjaal yn statistyk, om't it brûkt wurdt yn in breed skala oan praktyske tapassingen, ynklusyf hypotezetoetsing, parameterskatting en ferskate oare statistyske ynferinsjes. In goed begryp fan 'e ferwachte wearde fan dizze ferdieling is in wichtige earste stap yn gegevensanalyse.
Hopelik jout dit artikel in dúdlike en brûkbere útlis fan 'e ferwachte wearde yn 'e normale ferdieling tegearre mei relevante foarbyldfragen en diskusjes.
