Foarbyldfragen oer krêft op bewegende lading
Pendahuluan
Natuerkunde is de stúdzje fan natuerlike ferskynsels, ynklusyf de krêften dy't ynwurkje op objekten. Ien nijsgjirrich ûnderwerp dat faak besprutsen wurdt is de krêft op bewegende ladingen, benammen yn 'e kontekst fan elektryske en magnetyske fjilden. De krêft dy't ynwurket op in bewegende lading yn in elektrysk of magnetysk fjild is bekend as de Lorentz-krêft. Dit artikel sil ferskate foarbyldproblemen en har diskusje oangeande de krêft dy't ynwurket op bewegende ladingen beprate.
Lorentzkrêft
De Lorentzkrêft is in kombinaasje fan 'e elektryske krêft en de magnetyske krêft dy't wurket op in lading dy't beweecht yn in elektrysk fjild en in magnetysk fjild. Wiskundich kin de Lorentzkrêft (F) útdrukt wurde troch de fergeliking:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
Wêr:
– \( \mathbf{F} \) is de Lorentz-krêft
– \(q \) is de lading
– \( \mathbf{E} \) is it elektryske fjild
– \( \mathbf{v} \) is de snelheid fan 'e lading
– \( \mathbf{B} \) is it magnetyske fjild
Mei dizze fergeliking kinne wy de krêften analysearje dy't wurkje op in lading dy't beweecht yn in elektrysk fjild en in magnetysk fjild.
Foarbyldfragen en diskusje
Fraach 1: Krêft op in lading yn in elektrysk fjild
Fraach:
In positive lading (q = 2 × 10⁻⁶, C) is yn in unifoarm elektrysk fjild (E = 5 × 10⁻⁴, N/C) dat nei rjochts rjochte is. Bereken de krêft dy't op 'e lading wurket.
Diskusje:
Foar in lading yn in elektrysk fjild sûnder de oanwêzigens fan in magnetysk fjild bestiet de Lorentz-krêft allinich út de elektryske krêftkomponint:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{E} \]
Mei (q = 2 × 10⁻⁶, C) en (E = 5 × 10⁻⁴, N/C):
[\mathbf{F} = (2 \times 10^{-6} \, C) \times (5 \times 10^4 \, N/C) \]
\[ \mathbf{F} = 0.1 \, N \]
De rjochting fan 'e krêft \( \mathbf{F} \) is yn deselde rjochting as it elektryske fjild, om't de lading posityf is. Dat betsjut dat de krêft dy't op 'e lading wurket 0.1 N nei rjochts is.
Fraach 2: Krêft op in lading yn in magnetysk fjild
Fraach:
In negative lading (q = -3 × 10⁻⁶, C) beweecht mei in snelheid (v = 2 × 10⁻³, m/s) lâns de x-as yn in unifoarm magnetysk fjild (B = 0.5, T) rjochte lâns de z-as. Bereken de krêft dy't op de lading wurket.
Diskusje:
Foar in lading dy't beweecht yn in magnetysk fjild sûnder de oanwêzigens fan in elektrysk fjild, bestiet de Lorentz-krêft allinich út de magnetyske krêftkomponinten:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
Mei (q = -3 × 10⁻⁶, C), (v = 2 × 10⁻³, m/s) yn 'e x-rjochting, en (B = 0.5, T) yn 'e z-rjochting:
Berekkening \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \):
\[ \mathbf{v} = 2 \times 10^3 \, m/s \, \hat{i} \]
\[ \mathbf{B} = 0.5 \, T \, \hat{k} \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = (2 \times 10^3 \, m/s \, \hat{i}) \times (0.5 \, T \, \hat{k}) \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 2 \times 10^3 \, m/s \times 0.5 \, T \, \hat{i} \times \hat{k} \]
\[ \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j} \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = – (1 \times 10^3 \, T \cdot m/s) \, \hat{j} \]
Dus, de magnetyske krêft:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \]
[\mathbf{F} = (-3 \times 10^{-6} C) \times (-10^3 \, T \cdot m/s \, \hat{j}) \]
\[ \mathbf{F} = 3 \times 10^{-3} \, N \, \hat{j} \]
\[ \mathbf{F} = 0.003 \, N \, \hat{j} \]
De rjochting fan 'e krêft \( \mathbf{F} \) is nei de positive y-as. Dat betsjut dat de krêft dy't op 'e lading wurket 0.003 N nei boppen is (yn 'e positive y-as rjochting).
Fraach 3: Krêft op lading yn elektryske en magnetyske fjilden
Fraach:
In positive lading (q = 1.5 × 10⁻⁶, C) beweecht mei in snelheid (v = 4 × 10⁴, m/s) yn 'e y-rjochting yn in elektrysk fjild (E = 3 × 10⁴, N/C) yn 'e x-rjochting, en in magnetysk fjild (B = 0.2, T) yn 'e z-rjochting. Bereken de netto krêft dy't op 'e lading wurket.
Diskusje:
Totale Lorentz-krêft:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
Earst, berekkenje \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \):
\[ \mathbf{v} = 4 \times 10^3 \, m/s \, \hat{j} \]
\[ \mathbf{B} = 0.2 \, T \, \hat{k} \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = (4 \times 10^3 \, m/s \, \hat{j}) \times (0.2 \, T \, \hat{k}) \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 4 \times 10^3 \, m/s \times 0.2 \, T \, \hat{j} \times \hat{k} \]
\[ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = (0.8 \times 10^3 \, T \cdot m/s) \, \hat{i} \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 800 \, T \cdot m/s \, \hat{i} \]
Dan, de elektryske krêft:
[q E = (1.5 × 10⁻⁶, C) × (3 × 10⁻⁴, N/C, i)]
\[ q \mathbf{E} = 0.045 \, N \, \hat{i} \]
Magnetyske krêft:
[q(v × B) = (1.5 × 10⁻⁶, C) × (800, T m/s, hat i)]
\[ q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = 0.0012 \, N \, \hat{i} \]
Totale styl:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{E} + q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
\[ \mathbf{F} = 0.045 \, N \, \hat{i} + 0.0012 \, N \, \hat{i} \]
\[ \mathbf{F} = 0.0462 \, N \, \hat{i} \]
Dat betsjut dat de totale krêft dy't op 'e lading wurket 0.0462 N nei rjochts (positive x-as).
Konklúzje
De krêft op ladingen dy't bewege yn elektryske en magnetyske fjilden hinget sterk ôf fan 'e rjochting en grutte fan elk fjild, lykas de snelheid en it type lading. Troch de foarbyldfragen en diskusje hjirboppe wurdt hope dat lêzers better begripe kinne hoe't se it Lorentz-krêftprinsipe yn ferskate situaasjes tapasse kinne. Dit begryp is net allinich wichtich yn teory, mar ek yn praktyske tapassingen yn technologyske en wittenskiplike fjilden lykas by it ûntwerp fan elektromotoren, it begripen fan it aurora-ferskynsel, en it wurk fan dieltsjes yn dieltsjesfersnellers.
