Foarbyldfragen oer de binomiale ferdielingsfunksje
De binomiale ferdieling is in diskrete kânsferdieling dy't it oantal suksessen beskriuwt yn in eksperimint dat bestiet út in oantal ûnôfhinklike proeven mei twa mooglike útkomsten: sukses en mislearring. Elke proef wurdt in proef neamd, en de binomiale ferdieling wurdt faak brûkt yn situaasjes wêr't it oantal suksessen oer in oantal ûnôfhinklike proeven fan belang is. Yn dit artikel sille wy de basisbegripen fan 'e binomiale ferdieling beprate en foarbylden en oplossingen jaan.
Basisbegripen fan binomiale ferdielingsfunksje
Foardat wy yngeane op 'e foarbyldfragen en diskusje, litte wy earst wat basisbegripen beprate dy't relatearre binne oan 'e binomiale ferdieling.
1. Definysje: De binomiale ferdieling wurdt definiearre as de som fan suksessen yn 'n' ûnôfhinklike proeven, wêrby't elke proef twa mooglike útkomsten hat: sukses (mei kâns p) of mislearring (mei kâns q = 1 – p).
2. Kânsfunksje: De kânsfunksje fan 'e binomiale ferdieling is:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Wêr:
– \( P(X = k) \) is de kâns op k suksessen yn n proeven.
– \( \binom{n}{k} \) is in kombinaasje fan n take k, dy't definiearre is as \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(p \) is de kâns op sukses by elke poging.
– \( (1-p) \) is de kâns op mislearjen by elke poging.
3. Ferwachte wearde en fariânsje:
– De ferwachte wearde (gemiddelde) fan 'e binomiale ferdieling is ∫( ∫mu = np ∫).
– De fariânsje fan 'e binomiale ferdieling is ∫( \sigma^2 = np(1-p) ∫).
Litte wy dizze konsepten no tapasse yn in foarbyldprobleem om in djipper begryp te jaan.
Foarbyldfraach 1: Basisberekkeningen fan binomiale ferdieling
Fraach:
In bedriuw produseart elektroanyske komponinten mei in kâns fan 0.95 dat elke komponint in kwaliteitstest trochkomt. As der 10 komponinten produsearre wurde, berekkenje dan de kâns dat krekt 8 komponinten de kwaliteitstest trochkomme.
Diskusje:
Wy kinne de binomiale ferdielingsformule brûke om dit probleem op te lossen. Earst identifisearje wy de folgjende parameters:
– \(n \) (totaal oantal proeven) = 10
– \(k \) (oantal súksessen) = 8
– \(p \) (kâns op sukses) = 0.95
– \(q \) (kâns op mislearjen) = 1 – 0.95 = 0.05
Ferfange dan dizze wearden yn 'e binomiale ferdielingsformule:
\[
P(X = 8) = ∫(10)(8) (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Bereken earst de kombinaasje \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Bereken dan de kânsen \( (0.95)^8 \) en \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \sawat 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Uteinlik, fermannichfâldigje al dy wearden om te krijen:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 (sawat 0.0744)
\]
Dat betsjut dat de kâns dat krekt 8 fan de 10 komponinten de kwaliteitstest trochsteane sawat 0.0744 of 7.44%.
Foarbyldfraach 2: Kumulative kâns
Fraach:
Berekenje, noch altyd by itselde bedriuw, de kâns dat teminsten 9 fan de 10 komponinten de kwaliteitstest slagje.
Diskusje:
Om dit probleem op te lossen, moatte wy de kumulative kâns berekkenje. De kâns dat teminsten 9 fan de 10 komponinten de test slagje betsjut dat wy \( P(X \geq 9) \) berekkenje, dat skreaun wurde kin as:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Mei help fan de binomiale ferdielingsformule:
\[
P(X = 9) = ∫(10)(9) (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Earst, berekkenje de kombinaasje foar elk gefal:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Bereken dan de kânsen foar \( P(X = 9) \) en \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 kear (0.95)^9 kear 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \sawat 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 (sawat 0.3151)
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \sawat 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Totale kâns foar \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≥ 0.9138
\]
Dat betsjut dat de kâns dat teminsten 9 fan de 10 komponinten de kwaliteitstest trochsteane sawat 0.9138 of 91.38%.
Foarbyldfraach 3: Ferwachte wearde en fariânsje
Fraach:
Berekenje de ferwachte wearde en fariânsje fan it oantal komponinten dat de kwaliteitstest slagget fan 10 produsearre komponinten, mei in slagingskans fan 0.95.
Diskusje:
Brûk de folgjende formule:
– Ferwachte wearde (gemiddelde) \( \mu = np \)
– Fariânsje ( \sigma^2 = np(1-p))
Mei \(n = 10 \) en \(p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Dat betsjut dat de ferwachte wearde fan it oantal komponinten dat de kwaliteitstest slagget 9.5 is, en de fariânsje is 0.475.
Konklúzje
Troch de trije foarbyldproblemen hjirboppe hawwe wy besprutsen hoe't jo kâns kinne berekkenje mei de binomiale ferdieling foar ferskate situaasjes: it berekkenjen fan krekte kâns, kumulative kâns, en it berekkenjen fan ferwachte wearde en fariânsje. Kennis fan 'e binomiale ferdieling is nuttich yn ferskate fjilden, lykas produksje, medysk ûndersyk en sosjale statistyk, wêr't de resultaten fan werhelle eksperiminten mei twa mooglike útkomsten analysearre wurde kinne om beslútfoarming te stypjen. Hopelik sille de foarbyldproblemen en diskusjes jo helpe om de binomiale ferdieling fierder te begripen.
