Foarbyldfragen en diskusje oer binomiale ferdieling
De binomiale ferdieling is ien fan 'e meast brûkte diskrete kânsferdielingen. It is nuttich foar it modellearjen fan it oantal suksessen oer in oantal identike, ûnôfhinklike proeven, dy't elk in súkses of in mislearring opleverje. Yn dit artikel sille wy djipper yngean op 'e binomiale ferdieling troch ferskate foarbylden en in detaillearre diskusje te jaan.
Ynlieding ta binomiale ferdieling
Wichtigste skaaimerken fan binomiale ferdieling:
1. n: Oantal besykjen of werhellingen.
2. p: Kâns op sukses yn elke proef.
3. q = 1-p: Kâns op mislearjen yn elke poging.
De kânsmassafunksje fan 'e binomiale ferdieling is:
\[ P(X = k) = {n \kies k} p^k (1-p)^{nk} \]
Wêr:
– \( {n \kies k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \(X \): In willekeurige fariabele dy't it oantal súksessen fertsjintwurdiget.
– \(k \): It oantal sochte súksessen.
Foarbyldfragen en diskusje
Litte wy begjinne mei wat foarbyldproblemen om it konsept fan binomiale ferdieling yn mear detail te begripen.
Foarbyld 1: Selektearje út in groep studinten
Bygelyks, stel dat wy in groep fan 10 studinten hawwe, en de kâns dat elke studint selektearre wurdt om mei te dwaan oan in kompetysje is 0,3. Wy wolle de kâns witte dat krekt 4 studinten selektearre wurde.
Stap 1: Identifisearje de parameters fan 'e binomiale ferdieling.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Stap 2: Brûk de binomiale ferdieling om de kâns fan \( X = 4 \) te berekkenjen.
\[ P(X = 4) = {10 \kies 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Berekkening fan \( {10 \kies 4} \):
\[ {10 \kies 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Berekenje no \( (0.3)^4 \) en \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Sa,
[P(X = 4) = 210 ≥ 0.0081 ≥ 0.117649 (sawat 0.20012)]
Dat betsjut dat de kâns dat krekt 4 studinten selektearre wurde sawat 0.20012 of 20.012%.
Foarbyld 2: Kâns lytser as of gelyk oan 2
No, bygelyks, wurde wy frege oer de kâns dat minder as of gelyk oan 2 studinten selektearre wurde.
Stap 1: Wy moatte \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \), en \(P(X = 2) \) berekkenje.
– Foar \(P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \kies 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \kies 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
[P(X = 0) = 1 ⋅ 1 ⋅ 0.0282475 = 0.0282475]
– Foar \(P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \kies 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \kies 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
[P(X = 1) = 10 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1210608 = 0.3631824]
– Foar \(P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \kies 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \kies 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
[P(X = 2) = 45 ⋅ 0.09 ⋅ 0.2334744 = 0.2334744]
Stap 2: Tel de kânsen byinoar op.
\[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671]
Dat betsjut dat de kâns dat minder as of gelyk oan 2 studinten selektearre wurde sawat 0.7740671 of 77.41%.
Foarbyld 3: Kâns fan teminsten 8
As in eksperimint 12 kear útfierd wurdt, en de kâns op sukses yn elke proef 0.5 is, wat is dan de kâns dat der teminsten 8 suksessen foarkomme?
Stap 1: Stel de binomiale parameters yn: \(n = 12, p = 0.5 \).
Stap 2: Fyn de kâns foar \( X ≤ 8 \).
Dit fereasket it berekkenjen fan ferskate yndividuele kânsen en it byinoar optellen:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Tel ien foar ien:
– Foar \(P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \kies 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \kies 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
[P(X = 8) = 495 ≥ 0.0002441406 = 0.1208496]
– Foar \(P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \kies 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \kies 9} = 220 \]
[P(X = 9) = 220 ≥ 0.0002441406 = 0.05371094]
– Foar \(P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \kies 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \kies 10} = 66 \]
[P(X = 10) = 66 ≥ 0.0002441406 = 0.01611328]
– Foar \(P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \kies 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \kies 11} = 12 \]
[P(X = 11) = 12 ≥ 0.0002441406 = 0.002929688]
– Foar \(P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \kies 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \kies 12} = 1 \]
[P(X = 12) = 1 ≥ 0.0002441406 = 0.0002441406]
Stap 3: Tel alle kânsen op.
[P(X ≤ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 ~ sawat 0.1938477]
Dat betsjut dat de kâns dat der teminsten 8 suksessen foarkomme yn 12 proeven sawat 0.1938477 of 19.38%.
Konklúzje
De binomiale ferdieling is in fûneminteel konsept yn 'e statistyk dat krúsjaal is yn in protte praktyske tapassingen. Troch te begripen hoe't wy kânsen berekkenje kinne foar ferskate gefallen fan 'e binomiale ferdieling, lykas te sjen is yn 'e boppesteande foarbylden, kinne wy dit konsept tapasse yn situaasjes yn 'e echte wrâld. Dizze oefening fersterket ek ús begryp fan hoe't kânsstrukturen wurkje yn in dúdlike en organisearre kontekst.
