Foarbyldfragen oer rekkenkundige sekwinsjes
Rekenkundige sekwinsjes binne in fûneminteel konsept yn 'e wiskunde dat faak foarkomt yn ferskate eksamens en tapassingen yn 'e praktyk. In rekkenkundige sekwinsje is in sekwinsje fan getallen mei in konstant ferskil tusken elke twa opienfolgjende termen. Yn dit artikel sille wy it konsept fan rekkenkundige sekwinsjes yn mear djipte ûndersykje troch ferskate foarbyldproblemen mei wiidweidige útlis.
Definysjes en notaasjes
Foardat wy yn 'e foarbyldproblemen komme, is it wichtich om de notaasje te begripen dy't faak brûkt wurdt yn rekkenkundige sekwinsjes. As \(a\) de earste term is en \(d\) it mienskiplike ferskil (konstante ferskil), dan kin de rekkenkundige sekwinsje skreaun wurde as:
[a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d]
De n-de term (Un) fan dizze sekwinsje kin formulearre wurde as:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Hjirûnder binne ferskate foarbyldfragen en har diskusjes om it makliker te meitsjen om rekkenkundige sekwinsjes te begripen.
Foarbyldfraach 1
Fraach:
Jûn in rekkenkundige rige mei de earste term \(a = 5\) en it mienskiplike ferskil \(d = 3\). Bepale de 10e term fan 'e rige.
Diskusje:
Mei de algemiene formule foar de n-de term, nammentlik \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Dus, de 10e term fan 'e sekwinsje is 32.
Foarbyldfraach 2
Fraach:
Jûn in rekkenkundige rige mei de fyfde term 20 en de achtste term 35. Bepale de earste term \(a\) en it mienskiplike ferskil \(d\) fan 'e rige.
Diskusje:
Fan 'e fraach witte wy:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Trek beide fergelikingen ôf om \(a\) te eliminearjen:
\[ (a + 7d) - (a + 4d) = 35 - 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[d = 5 \]
No ferfange wy \(d = 5\) om \(a\) te finen:
\[a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ in + 20 = 20 \]
\[ in = 0 \]
Dus, de earste term fan 'e sekwinsje is 0 en it ferskil is 5.
Foarbyldfraach 3
Fraach:
Wat is de som fan 'e earste 20 termen fan in rekkenkundige rige wêrfan de earste term _(a = 2)_ en it mienskiplike ferskil _(d = 4)_ is?
Diskusje:
De som fan 'e earste n termen fan in rekkenkundige sekwinsje kin berekkene wurde mei de formule:
\[ S_n = \frac{n}{2} \lofter ( 2a + (n-1)d \rjochter) \]
Foar dizze line:
[S_{20} = \frac{20}{2} \lofter(2 ⋅2 + (20-1) \cdot 4 \rjochter) \]
\[ S_{20} = 10 \lofts( 4 + 76 \rjochts) \]
\[ S_{20} = 10 ⋅ 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
Dat betsjut dat de som fan 'e earste 20 termen fan 'e sekwinsje 800 is.
Foarbyldfraach 4
Fraach:
De tredde term fan in rekkenkundige rige is 15 en de sânde term is 27. Fyn de 12e term fan 'e rige.
Diskusje:
Earst moatte wy de wearden \(a\) en \(d\) fine. Ut de fraach witte wy:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Trek beide fergelikingen ôf om \(a\) te eliminearjen:
\[ (a + 6d) - (a + 2d) = 27 - 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[d = 3 \]
No ferfange wy \(d = 3\) om \(a\) te finen:
\[a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ in + 6 = 15 \]
\[ in = 9 \]
Mei de formule foar de n-de term kinne jo de 12e term fine:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Dus, de 12e term fan 'e sekwinsje is 42.
Foarbyldfraach 5
Fraach:
In rekkenkundige rige mei in earste term \(a\) en in mienskiplik ferskil \(d\) hat in som fan 'e earste 10 termen, nammentlik 55. As \(d = 1\), bepaal dan de earste term \(a\).
Diskusje:
Jûn \(d = 1\) en \(S_{10} = 55\). Brûk de formule foar de som fan 'e earste termen:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Foar n = 10:
[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ in = 1 \]
Dus, de earste term fan 'e sekwinsje is 1.
Konklúzje
Rekenkundige sekwinsjes binne in fûneminteel konsept yn 'e wiskunde dat ekstreem nuttich is op ferskate fjilden. Yn dit artikel hawwe wy ferskate foarbylden fan rekkenkundige sekwinsjes en har oplossingen besprutsen. In goed begryp fan 'e formules en basiseigenskippen fan rekkenkundige sekwinsjes sil tige nuttich wêze by it oplossen fan ferskate soarten problemen yn ferbân mei dit ûnderwerp.
Troch foarbylden lykas de hjirboppe neamde te oefenjen, is de hope dat jo bekwamer en rapper wurde yn it oplossen fan problemen mei rekkenkundige sekwinsjes.
