Foarbyldfragen dy't de regel besprekke foar it tafoegjen fan twa eksklusive eveneminten A en B
Yn 'e kânsberekkening is de somregel fan twa eveneminten ien fan 'e fûnemintele prinsipes dy't brûkt wurde om de kâns fan meardere eveneminten te berekkenjen. Dit konsept wurdt faak tapast yn ferskate situaasjes om de mooglike útkomsten fan bepaalde eveneminten te begripen. Yn dit artikel sille wy de somregel fan twa ûnderling útslutende eveneminten beprate en foarbylden jaan om dit konsept te ferdúdlikjen.
De regel fan tafoeging fan twa ûnderling útslutende eveneminten
Earst fan alles is it wichtich om te begripen wat bedoeld wurdt mei ûnderling útslutende barrens. Twa barrens wurde neamd disjunkt of ûnderling útslutend as se net tagelyk foarkomme kinne. Mei oare wurden, gjin elemint yn 'e set fan ien barren is ek in elemint yn 'e set fan in oare barren.
De optelregel yn kânsberekkening stelt dat as twa eveneminten \(A\) en \(B\) ûnderling útslutend binne, dan is de kâns op ien fan beide eveneminten \(A\) of \(B\) de som fan 'e kânsen fan 'e twa eveneminten. Wiskundich kin dizze regel útdrukt wurde as:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B)]
wêrby't \(P(A \cup B)\) de kâns is fan \(A\) of \(B\), \(P(A)\) de kâns is fan barren \(A\), en \(P(B)\) de kâns is fan barren \(B\).
Foarbyld fan diskusjefragen
Litte wy wat foarbylden beprate om de tapassing fan 'e regel foar it tafoegjen fan twa ûnderling útslutende eveneminten te ferdúdlikjen.
Foarbyldfraach 1
Fraach:
In seissidige dobbelstien wurdt ien kear smiten. Fyn de kâns dat it resultearjende getal 2 of 4 is.
Diskusje:
Wy kinne barren \(A\) definiearje as it foarkommen fan de wearde 2, en barren \(B\) as it foarkommen fan de wearde 4. Sa:
– \(P(A)\) is de kâns dat de wearde 2 ferskynt.
– \(P(B)\) is de kâns dat de wearde 4 ferskynt.
Omdat in dobbelstien seis like wierskynlike kanten hat, is de kâns dat in bepaalde wearde ferskynt \( \frac{1}{6} \). Dus:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
De barrens \(A\) en \(B\) binne ûnderling útslutend, om't de wearden 2 en 4 net tagelyk yn ien worp fan 'e dobbelstien foarkomme kinne. Dêrom, mei de optelregel foar twa ûnderling útslutende barrens:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Dat betsjut dat de kâns dat de wearde dy't ferskynt 2 of 4 is, 1 of 3 is, of sawat 33.33%.
Foarbyldfraach 2
Fraach:
Yn in tas binne 10 ballen besteande út 4 reade ballen en 6 blauwe ballen. As wy ien bal willekeurich kieze, wat is dan de kâns dat de bal dy't lutsen wurdt read of blau is?
Diskusje:
Wy kinne de barren \(A\) definiearje as it nimmen fan 'e reade bal, en de barren \(B\) as it nimmen fan 'e blauwe bal. Sa:
– \(P(A)\) is de kâns om in reade bal te kiezen.
– \(P(B)\) is de kâns om in blauwe bal te kiezen.
De kâns op elke barren kin as folget berekkene wurde:
\[ P(A) = \frac{\text{Oantal reade ballen}}{\text{Totaal oantal ballen}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Oantal blauwe ballen}}{\text{Totaal oantal ballen}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
De eveneminten \(A\) en \(B\) binne ûnderling útslutend, om't in bal net sawol read as blau wêze kin. Dêrom, mei de optelregel foar twa ûnderling útslutende eveneminten:
[P(A ⋅ B) = P(A) + P(B) = ∫2/5 + ∫3/5 = 1]
Dat betsjut dat de kâns dat de lutsen bal read of blau is 1, of 100%. Dit is logysk, om't alle ballen yn 'e sek read of blau binne.
Foarbyldfraach 3
Fraach:
Yn in klasse fan 20 learlingen, wêrfan 7 wiskunde leuk fine, 5 wittenskip, en nimmen dy't beide leuk fynt. As ien learling willekeurich keazen wurdt, fyn dan de kâns dat de learling wiskunde of wittenskip leuk fynt.
Diskusje:
Wy kinne barren \(A\) definiearje as in foarkar foar wiskunde, en barren \(B\) as in foarkar foar wittenskip. Sa:
– \(P(A)\) is de kâns dat in studint fan wiskunde hâldt.
– \(P(B)\) is de kâns dat in studint fan wittenskip hâldt.
De kâns op elke barren kin as folget berekkene wurde:
\[ P(A) = \frac{\text{Oantal studinten dy't wiskunde leuk fine}}{\text{Totaal oantal studinten}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Oantal studinten dy't fan wittenskip hâlde}}{\text{Totaal oantal studinten}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
De eveneminten \(A\) en \(B\) binne ûnderling útslutend, om't gjin studint se beide leuk fynt. Dêrom, mei de optelregel foar twa ûnderling útslutende eveneminten:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
Dat betsjut dat de kâns dat in willekeurich selektearre studint fan wiskunde of wittenskip hâldt, \( \frac{3}{5} \) of 60%.
Konklúzje
De optelregel fan twa ûnderling útslutende barrens is in fûneminteel konsept yn 'e kânsberekkening dy't de berekkening fan 'e kâns op in mienskiplike barren fasilitearret. Yn 'e boppesteande foarbylden hawwe wy sjoen dat dit prinsipe tapast wurde kin op situaasjes yn 'e echte wrâld lykas it smiten fan dobbelstiennen, it lûken fan ballen út in tas, of it selektearjen fan studinten út in klasse. Troch dit konsept te begripen en te behearskjen, kinne wy de kânsen fan ferskate ûnderling útslutende barrens yn it deistich libben effektiver berekkenje.
