Formules de longueur, de masse, de fréquence et de tension des cordes
introduction
Les cordes sont un élément essentiel de nombreux instruments de musique, de la guitare au violon. Leur longueur, leur masse, leur fréquence et leur tension jouent un rôle crucial dans la détermination de la hauteur et de la qualité du son produit. Dans cet article, nous examinerons les relations physiques entre ces paramètres et leur application pratique, notamment dans le contexte des instruments de musique.
Longueur de la corde
La longueur d'une corde (L) est la distance entre deux points où elle est fixée. Dans le cas des instruments de musique, cette longueur est généralement mesurée du point où la corde commence à vibrer jusqu'au point où elle cesse de vibrer.
La longueur d'une corde influe sur sa fréquence fondamentale. En général, plus la corde est longue, plus la fréquence qu'elle produit est basse. La relation entre la longueur de la corde et sa fréquence est illustrée par l'équation de base d'une onde stationnaire sur une corde :
\[ f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
De mana:
– \( f \) est la fréquence (Hz),
– \( n \) est le numéro harmonique (1 pour la fréquence fondamentale, 2 pour la deuxième harmonique, etc.),
– \( L \) est la longueur de la corde (en mètres),
– \( T \) est la tension de la corde (Newton),
– \( \mu \) est la masse par unité de longueur de la corde (kg/m).
Masse de cordes
La masse de la corde (m) est sa masse totale. La masse linéique (mu) est la masse de la corde par mètre de longueur et s'exprime comme suit :
\[ \mu = \frac{m}{L} \]
De mana:
– \( m \) est la masse totale de la corde (kg),
– \( L \) est la longueur de la corde (mètres).
La masse linéique est cruciale pour déterminer la fréquence de vibration d'une corde. Plus le coefficient μ est élevé, plus la fréquence de vibration est basse. En effet, les cordes plus lourdes nécessitent plus d'énergie pour vibrer à une fréquence donnée.
Fréquence de la corde
La fréquence (f) est le nombre de vibrations par seconde produites par une corde. La fréquence fondamentale (f₁) d'une corde vibrante est la fréquence la plus basse et peut être calculée à l'aide de la formule :
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
La fréquence harmonique peut également être calculée à l'aide de cette formule, en substituant le numéro harmonique \(n\) dans l'équation :
\[ f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
De mana:
– \( f_n \) est la fréquence de la nième harmonique (Hz),
– \( n \) est un nombre harmonique.
Tension de la corde
La tension (T) est la force appliquée à une corde pour la tendre. Cette tension, mesurée en newtons (N), est un facteur déterminant de la fréquence de vibration de la corde.
Si la tension de la corde augmente, la fréquence de vibration augmentera également. Cette relation s'explique par la formule de la fréquence fondamentale mentionnée précédemment :
\[ f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
Cette formule nous montre que la fréquence est directement proportionnelle à la racine carrée de la tension. Autrement dit, si la tension double, la fréquence augmente d'un facteur égal à la racine carrée de deux.
Exemple de Perhitungan
Examinons quelques exemples de calculs pour mieux comprendre la relation entre la longueur de la corde, sa masse, sa fréquence et sa tension.
Exemple 1 : Déterminer la fréquence d’une chaîne de caractères
Supposons que nous ayons une corde d'une longueur de 1 mètre, d'une masse totale de 0.01 kg et d'une tension de 100 N. Nous voulons déterminer la fréquence fondamentale de cette corde.
1. Calculer la masse par unité de longueur :
\[ \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.01}{1} = 0.01 \, \text{kg/m} \]
2. Utilisez la formule de fréquence de base :
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[ f_1 = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{100}{0.01}} \]
\[ f_1 = \frac{1}{2} \sqrt{10000} \]
\[ f_1 = \frac{1}{2} \times 100 \]
\[ f_1 = 50 \, \text{Hz} \]
La fréquence fondamentale de cette corde est donc de 50 Hz.
Exemple 2 : Détermination de la tension requise
Supposons que nous voulions déterminer la tension requise pour une corde d'une longueur de 0.5 mètre et d'une masse totale de 0.02 kg pour produire une fréquence fondamentale de 440 Hz (la fréquence standard de la note La).
1. Calculer la masse par unité de longueur :
\[ \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.02}{0.5} = 0.04 \, \text{kg/m} \]
2. Utilisez la formule de la fréquence fondamentale et résolvez pour \(T\) :
\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[ 440 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[ 440 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[ 440 = \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[ 440^2 = \frac{T}{0.04} \]
\[ 193600 = \frac{T}{0.04} \]
\[ T = 193600 \times 0.04 \]
\[ T = 7744 \, \text{N} \]
La tension requise pour produire une fréquence fondamentale de 440 Hz est donc de 7744 N.
Application pratique
1. Instruments de musique
Les cordes sont utilisées dans de nombreux instruments de musique, comme les guitares, les violons et les pianos. Comprendre la relation entre la longueur, la masse, la fréquence et la tension des cordes est essentiel pour accorder correctement un instrument et produire le son désiré.
2. Technologie
Les cordes sont également utilisées dans les technologies modernes, notamment dans les capteurs et les appareils de mesure. Par exemple, une jauge de contrainte utilise les variations de tension d'une corde pour mesurer la déformation et la contrainte d'un matériau.
3. Recherche et éducation
En physique, dans l'enseignement et la recherche, les expériences sur les cordes permettent d'étudier les ondes et les vibrations. Cela aide les étudiants à comprendre les concepts fondamentaux de la physique des ondes et de l'acoustique.
conclusion
Comprendre les formules et les relations entre la longueur, la masse, la fréquence et la tension d'une corde est essentiel dans de nombreux domaines, notamment la musique et la technologie. Grâce aux formules fondamentales de la physique, nous pouvons calculer et prédire le comportement des cordes dans diverses conditions, ce qui nous est utile dans de nombreuses applications pratiques, de l'accordage des instruments de musique aux mesures de précision en technologie moderne.
