Collisions parfaitement élastiques
On dit qu'une collision entre deux objets est parfaitement élastique si la quantité de mouvement ou l'énergie cinétique de chaque objet avant la collision est égale à sa quantité de mouvement et à son énergie cinétique après la collision. Autrement dit, les lois de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique s'appliquent aux collisions parfaitement élastiques. Le terme « élastique » indique qu'après la collision, les deux objets ne restent pas collés l'un à l'autre mais rebondissent. La quantité de mouvement de chaque objet est conservée.
La quantité de mouvement de chaque objet est conservée.
m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁ ' + m₂v₂ ' ………………… .. Équation 1.5
L'énergie cinétique de chaque objet est conservée.
1/2 mv₁² + 1/2 mv₂² = 1/2 mv₁'² + 1/2 mv₂'² ………………… .. Équation 1.6
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Une collision parfaitement élastique est silencieuse et ne génère pas de chaleur due au frottement entre les deux objets. Si la collision de deux objets produit du bruit et de la chaleur, l'énergie cinétique des objets n'est pas conservée. Une partie de cette énergie cinétique est convertie en énergie sonore et en énergie thermique, et une autre partie en énergie interne. La collision de particules atomiques et subatomiques est un exemple de collision parfaitement élastique.
Dans un problème de collision parfaitement élastique, si la vitesse initiale est connue mais que la vitesse finale est inconnue, le problème ne peut pas être résolu en utilisant uniquement les équations 1.5 et 1.6. Pour cette raison, les deux équations sont manipulées pour dériver d'autres équations, qui peuvent être utilisées pour déterminer la vitesse finale.
Supprimez le facteur 1/2 puis manipulez 1.6
m 1 contre 1 2 + m 2 contre 2 2 = m 1 contre 1 ' 2 + m 2 contre 2 ' 2
m 1 contre 1 2 – m 1 contre 1 ' 2 = m 2 contre 2 ' 2 – m 2 contre 2 2
m₁ ( v₁² – v₁'² ) = m₂ ( v₂'² – v₂² ) → (a + b) ( a – b ) = a² – b²
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' – v 2 ) ………………….. Équation 1.7
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Manipulez l'équation 1.5
m 1 contre 1 – m 1 contre 1 ' = m 2 contre 2 ' - m 2 contre 2
m 1 (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' – v 2 ) ………………….. Équation 1.8
Divisez l'équation 1.7 par l'équation 1.8 pour obtenir le résultat final.
(v 1 + v 1 ') = (v 2 ' + v 2 )
v 1 – v 2 = v 2 ' – v 1 '
v 1 – v 2 = – (v 1 ' – v 2 ') ………………….. Équation 1.9
Les équations 1.5 et 1.9 permettent de résoudre les problèmes de collisions parfaitement élastiques. En les combinant, on obtient deux équations permettant de déterminer les vitesses finales de deux objets lorsque leurs masses et leurs vitesses initiales sont inconnues.
Pour résoudre les problèmes à l'aide des équations ci-dessus, utilisez le signe correct pour v₁ et v₂ . Si l'objet 1 se déplace vers la droite, v₁ est positif ; inversement, si l'objet 2 se déplace vers la gauche, v₂ est négatif. Si les deux objets se déplacent dans des directions opposées, mais qu'aucune information n'est fournie concernant le sens du mouvement, les signes de v₁ et v₂ doivent être différents : par exemple, v₁ est positif et v₂ est négatif.
4.1.1 Deux objets de même masse
Si m 1 = m 2 , v 1 ' = v 2 et v 2 ' = v 1.
Que se passe-t-il si les deux objets se déplacent dans des directions différentes ?
Par exemple, si avant la collision l'objet 1 se déplace vers la droite et l'objet 2 se déplace vers la gauche, l'objet 1 se déplacera vers la gauche (v 1 ' = – v 2 ) et l'objet 2 se déplacera vers la droite (v 2 ' = v 1 ) après la collision.
Que se passe-t-il si l'un des objets est initialement au repos ?
Par exemple, si avant la collision l'objet 2 est immobile (v₂ = 0), l'objet 1 sera également immobile (v₁ ' = 0) et l'objet 2 se déplacera après la collision à la même vitesse que la vitesse initiale de l'objet 1 (v₂ ' = v₁ ) . Si, avant la collision, l'objet 1 se déplace vers la droite, l'objet 2 se déplacera également vers la droite après la collision. Ainsi, les deux objets échangent leurs vitesses.
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Exemple de question 4
Deux objets, A (2 kg) et B (2 kg), se déplacent en sens opposé à des vitesses respectives de 4 m/s et 2 m/s. Si la collision entre les objets A et B est parfaitement élastique, quelles seront leurs vitesses finales ?
Connu :
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 4 m/s, v B = – 2 m/s
Recherchés : v A ' et v B '
Solution:
v A ' = – 2 m/s et v B ' = 4 m/s
Après la collision, l'objet A se déplace à une vitesse de 2 m/s et l'objet B à une vitesse de 4 m/s dans des directions opposées. Si, avant la collision, l'objet A se déplaçait vers la droite et l'objet B vers la gauche, après la collision, l'objet A se déplacera vers la gauche et l'objet B vers la droite.
Exemple de question 5
L'objet A (2 kg) se déplace vers la droite à une vitesse de 2 m/s et entre en collision avec l'objet B (2 kg) initialement au repos. Si la collision est parfaitement élastique, quelles sont les vitesses finales des objets A et B ?
Connu :
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 2 m/s, v B = 0 m/s
Recherchés : v A ' et v B '
Solution:
v A ' = 0 et v B ' = 2 m/s
Après la collision, l'objet A est au repos et l'objet B se déplace vers la droite à une vitesse de 2 m/s.
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4.1.2 Deux objets de masses différentes
Si deux objets ont des vitesses initiales et des masses différentes (différence mineure), les vitesses finales sont connues en utilisant les équations 1.10 et 1.11.
Si initialement l'objet 2 est au repos (v 2 = 0), l'équation 1.10 devient l'équation 1.12 et l'équation 1.11 devient l'équation 1.13.
Si v₂ = 0, m₁ est très grand et m₂ très petit, la résolution des équations 1.12 et 1.13 donne v₁' = v₁ et v₂' = 2v₁. Si v₂ = 0 , m₁ est très petit et m₂ très grand , la résolution des équations 1.12 et 1.13 donne v₁ ' = -v₁ et v₂ ' = 0. Les signes positif et négatif indiquent des sens de mouvement opposés.
Exemple de question 6
Un objet de masse 1 kg se déplace à une vitesse de 20 m/s et percute un mur lors d'un choc parfaitement élastique. Quelles sont les vitesses finales de l'objet et du mur ?
Connu :
m <sub> A </sub> = 1 kg, v<sub> A</sub> = 20 m/s, m<sub> B</sub> = très grand, v<sub> B</sub> = 0
Recherchés : v A ' et v B '
Solution:
v A ' = -20 m/s et v B ' = 0
Après la collision, l'objet A rebondit à une vitesse de 20 m/s tandis que l'objet B reste immobile. Si, avant la collision, l'objet A se déplaçait vers la droite, il se déplacera vers la gauche après la collision.
