On l'appelle l'équation de Poiseuille car elle a été découverte par Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Comme expliqué précédemment, tout fluide peut être considéré comme un fluide idéal. Les fluides idéaux sont dépourvus de viscosité. Si l'on imagine un fluide idéal s'écoulant dans un tuyau, chaque partie du fluide se déplace à la même vitesse (v). Contrairement aux fluides idéaux, les fluides réels, ou ceux que nous rencontrons au quotidien, possèdent une viscosité. Du fait de cette viscosité, lorsqu'ils s'écoulent dans un tuyau, par exemple, la vitesse de chaque partie du fluide varie. La couche de fluide au centre se déplace plus rapidement (v est grand), tandis que la couche de fluide au contact du tuyau reste immobile (v = 0). Ainsi, du centre jusqu'aux bords du tuyau, chaque partie du fluide se déplace à une vitesse différente. Pour faciliter votre compréhension, observez l'image ci-dessous…
Information :
R = rayon du tuyau/tube
v 1 = débit du fluide au centre/axe du tube
v₂ = débit du fluide à une distance r₂ du bord du tube
v₄ = débit du fluide à une distance r₄ du bord du tube
v₄ = débit du fluide à une distance r₄ du bord du tube
r = distance
Pour garantir un débit identique pour chaque fluide, une différence de pression doit exister aux deux extrémités de toute conduite. Par « fluide », nous entendons ici des fluides réels, comme l'eau ou l'huile circulant dans une canalisation, le sang dans les vaisseaux sanguins, etc. Outre le fait de favoriser un écoulement régulier, les différences de pression permettent également aux fluides de circuler dans des canalisations situées à différentes hauteurs.
Jean Louis Marie Poiseuille, un ancien scientifique français s'intéressant aux aspects physiques de la circulation sanguine humaine, a mené des recherches pour étudier comment des facteurs tels que les différences de pression, la section transversale d'un tube et sa taille influencent la vitesse d'un fluide réel. Les résultats obtenus par Jean Louis Marie Poiseuille sont connus sous le nom d'équation de Poiseuille.
L'équation de Poiseuille peut être dérivée à partir de l'équation du coefficient de viscosité établie précédemment. Nous utilisons cette dernière car le cas est similaire, bien que non identique. Lors de la dérivation de l'équation du coefficient de viscosité, nous considérons l'écoulement d'une couche de fluide réel entre deux plaques parallèles, le fluide se déplaçant sous l'effet de la force de tension (F). La différence réside dans le fait que l'équation de Poiseuille que nous allons dériver exprime les facteurs influençant l'écoulement d'un fluide réel dans une conduite, cet écoulement étant dû aux différences de pression. Par conséquent, l'équation du coefficient de viscosité doit être adaptée.
Les fluides peuvent s'écouler en raison des différences de pression (les fluides s'écoulent des endroits à haute pression vers les endroits à basse pression), donc nous remplaçons F par p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Pour établir l'équation du coefficient de viscosité, on considère l'écoulement d'une couche de fluide réel entre deux plaques parallèles. Chaque portion de fluide subit une variation régulière de vitesse sur une distance l. Dans ce cas, le débit du fluide varie régulièrement de l'axe du tube à son bord. Le fluide s'écoule plus rapidement (v) sur l'axe du tube. Plus on s'éloigne du bord, plus la vitesse du fluide diminue. Le rayon du tube est égal à la distance entre son axe et son bord, soit R. La distance entre chaque portion de fluide et le bord du tube est égale à r. Comme le nombre de portions de fluide est très important et que leur distance au bord du tube varie également, on peut simplifier l'expression :
v 1 = vitesse du fluide à une distance r1 du bord du tube (r1 = R)
v 2 = vitesse du fluide à une distance r2 du bord du tube (r2 < r1)
v 3 = vitesse du fluide à une distance r3 du bord du tube (r3 < r2 < r1)
v 4 = vitesse du fluide à une distance r4 du bord du tube (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = vitesse du fluide à une distance rn du bord du tube (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Le nombre de parties du fluide est très grand et nous ne connaissons pas leur quantité exacte ; il suffit donc de les noter par le symbole n. Chaque partie du fluide subit une variation régulière de son débit (v) depuis l'axe du tube (r1 = R) jusqu'à son bord (rn). De l'axe du tube (r1 = R) jusqu'au bord du tube (rn), le débit de chaque partie du fluide diminue (v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn).
D'après l'explication ci-dessus, on comprend que le débit du fluide diminue de R à rn. La longueur du tuyau est L. L'équation obtenue est :
Puisque ce que nous considérons est le débit (v) du fluide, l'équation 2 devient :
Voici l'équation du débit d'un fluide à une distance r d'un tuyau de rayon R. Si l'image ci-dessus vous paraît confuse… Veuillez noter que le fluide s'écoule dans un tuyau ou un tube ; il est donc nécessaire de revoir le débit volumique du fluide.
À l'intérieur du tube se trouve un fluide. Par exemple, nous divisons ce fluide en très petits morceaux, chacun ayant une surface unitaire dA, une distance de l'axe du tube et un débit v. Mathématiquement, cela s'écrit comme suit :
dA1 = section de fluide 1, située à une distance de 1 de l'axe du tube
dA2 = section de fluide 2, située à une distance de 2 de l'axe du tube
dA3 = section de fluide 3, située à une distance de 3 de l'axe du tube
..................................
dA n = section de fluide n, qui est une distance dA n de l'axe du tube
Il y a tellement de volumes de fluide qu'il est pratique de les désigner simplement par le symbole n. Le débit volumique de chaque volume de fluide peut s'écrire mathématiquement comme suit :
Chaque portion de fluide se situe à une distance comprise entre r = 0 et r = R (R étant le rayon du tube). Autrement dit, la distance de chaque portion de fluide varie selon l'axe du tube. En effectuant un calcul intégral, on obtient l'équation du débit volumique du fluide dans le tube :
Information :
Q = Débit
R = Rayon intérieur du tuyau ou du tube
η = Coefficient de viscosité
P1 – p2 = Différence de pression entre les deux extrémités du tuyau
L = Longueur du tuyau
p 1 -p 2 /L = Gradient de pression (le flux de fluide se fait toujours dans le sens de la diminution de la pression)
D'après l'équation de Poiseuille ci-dessus, le débit volumique du fluide, ou débit (Q), est proportionnel à la puissance quatrième du rayon du tube (R⁴ ) , au gradient de pression (p₂ – p₁ / L) et inversement proportionnel à la viscosité. Si le rayon du tube augmente (le coefficient de viscosité et le gradient de pression restant constants), le débit du fluide est multiplié par 16.
Le principe de base de la conception des tuyaux, seringues et autres dispositifs repose sur cette équation. Le débit du fluide est proportionnel à R⁴ ( R étant le rayon du tube). Le rayon de la seringue ou du tuyau doit être calculé avec précision. Par exemple, si l'on double le rayon de l'aiguille (r x 2), le débit du fluide pulvérisé augmente la force de pression exercée par le pouce d'un facteur 16.
L'équation de Poiseuille montre également que la quatrième puissance du rayon (r⁴ ) est inversement proportionnelle à la différence de pression entre les deux extrémités du tuyau. Par exemple, initialement, le sang circule dans un vaisseau sanguin de rayon interne r. Si le vaisseau se rétrécit (par exemple, r/2 = le rayon interne du vaisseau est réduit de moitié), une différence de pression 16 fois supérieure est nécessaire pour que le débit sanguin redevienne le même (afin que le débit reste constant).
