Écrire la dérivée d'une fonction
Pendahuluan
En mathématiques, et plus particulièrement en calcul différentiel et intégral, la dérivée est un concept fondamental qui joue un rôle crucial dans de nombreuses applications. Les dérivées sont utilisées non seulement en mathématiques théoriques, mais aussi en sciences, en ingénierie, en économie et dans bien d'autres disciplines. Cet article abordera en détail la dérivée d'une fonction, en présentant ses bases, ses règles importantes et des exemples d'application.
Principes de base des produits dérivés
Définition des produits dérivés
La dérivée d'une fonction décrit son taux de variation par rapport à sa variable indépendante. Intuitivement, la dérivée peut être définie comme la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en un point donné.
Si \( y = f(x) \), alors la dérivée première de \( f \) par rapport à \( x \) est notée \( f'(x) \) ou \( \frac{dy}{dx} \). La définition formelle de la dérivée est donnée par la limite suivante :
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Notation dérivée
Plusieurs notations sont couramment utilisées pour écrire les dérivées :
1. Notation de Leibniz : \( \frac{dy}{dx} \)
2. Notation de Lagrange : \( f'(x) \)
3. Notation de Newton : \( y' \)
4. Notation d'Euler : \( Df(x) \)
Chaque notation a des usages et des contextes spécifiques dans lesquels elle est plus fréquemment utilisée.
Règles fondamentales de la différenciation
Règles d'addition et de soustraction
Si \( f(x) \) et \( g(x) \) sont deux fonctions différentiables, alors :
\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
Règles de multiplication
Pour deux fonctions \( u(x) \) et \( v(x) \) :
\[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Règles de division
Si \( u(x) \) et \( v(x) \) sont deux fonctions, et \( v(x) \neq 0 \) :
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Règle de la chaîne
Pour la composition de deux fonctions \( f(u) \) et \( u(g) \) :
\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Exemples d'application
Dérivées des fonctions polynomiales
Supposons que \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). Pour trouver la dérivée de cette fonction, nous appliquons les règles de base de la différentiation.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1) \]
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques
Si \( f(x) = e^x \), alors la dérivée de la fonction exponentielle est :
\[ f'(x) = e^x \]
Pour la fonction logarithme naturel \( f(x) = \ln(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]
Dérivées des fonctions trigonométriques
Pour les fonctions trigonométriques de base :
– Si \( f(x) = \sin(x) \), alors \( f'(x) = \cos(x) \)
– Si \( f(x) = \cos(x) \), alors \( f'(x) = -\sin(x) \)
– Si \( f(x) = \tan(x) \), alors \( f'(x) = \sec^2(x) \)
Dérivée d'une fonction composée
Supposons que \( f(x) = \sin(2x) \). Nous pouvons appliquer la règle de la chaîne :
\[ f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Dérivés avancés
Dérivés de deuxième et suivants
La dérivée seconde est la dérivée de la fonction dérivée première. Si \( y = f(x) \), alors la dérivée seconde est notée \( f”'(x) \) ou \( \frac{d^2y}{dx^2} \). Et ainsi de suite pour la dérivée troisième \( f”'(x) \) ou \( \frac{d^3y}{dx^3} \).
Supposons que \( f(x) = x^4 \):
\[ f'(x) = 4x^3 \]
\[ f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
\[ f”'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
\[ f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]
Applications des dérivées en physique
En physique, les dérivées sont souvent utilisées pour déterminer la vitesse et l'accélération. Supposons que \( s(t) \) soit une fonction de la position par rapport au temps \( t \). La vitesse \( v(t) \) est la dérivée première de la position :
\[ v(t) = s'(t) \]
L'accélération \( a(t) \) est la dérivée première de la vitesse ou la dérivée seconde de la position :
\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]
conclusion
La dérivée d'une fonction est un concept fondamental du calcul différentiel et intégral, avec de nombreuses applications dans divers domaines. La compréhension intuitive de la dérivée comme la pente de la tangente à la courbe permet de mieux appréhender les propriétés et le comportement d'une fonction. La maîtrise et l'application des règles de dérivation, telles que la règle de la chaîne, la règle du produit et la règle de la division, sont essentielles pour quiconque étudie le calcul différentiel et intégral. À travers des exemples simples et des applications en physique, cet article vise à fournir une compréhension globale de l'écriture de la dérivée d'une fonction.
