Résolution de systèmes d'équations
Les systèmes d'équations, également appelés équations simultanées, sont des ensembles d'équations à plusieurs inconnues. On les qualifie de simultanées car elles sont résolues en même temps, c'est-à-dire que la solution doit satisfaire toutes les équations simultanément. La résolution de systèmes d'équations est une compétence fondamentale en mathématiques, qui trouve des applications dans divers domaines tels que la physique, l'économie, l'ingénierie et l'informatique. Cet article vise à présenter un panorama complet des méthodes couramment utilisées pour résoudre les systèmes d'équations.
Concepts de base
Avant d'aborder les méthodes de résolution des systèmes d'équations simultanées, il est essentiel de comprendre certains termes et concepts fondamentaux.
– Variables : Symboles représentant des valeurs inconnues, généralement désignés par des lettres comme x, y et z.
– Équations linéaires : Équations dans lesquelles les variables sont élevées à la puissance un et apparaissent sous une forme linéaire (par exemple, \(2x + 3y = 6\)).
– Équations non linéaires : Équations impliquant des variables élevées à des puissances autres que un, impliquant des produits de variables, des fonctions trigonométriques, etc. (par exemple, \(x^2 + y^2 = 9\)).
– Systèmes d'équations : Ensembles de deux équations ou plus qui partagent le même ensemble de variables.
Prenons un exemple classique de système d'équations linéaires :
\[
\begin{cas}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{cas}
\]
La solution de ce système est toute paire \((x, y)\) qui satisfait simultanément les deux équations.
Méthodes de résolution des systèmes d'équations
1. Méthode graphique
La méthode graphique consiste à reporter chaque équation sur un repère orthonormé et à identifier les points d'intersection des courbes. Ces points d'intersection représentent les solutions du système d'équations.
Étape:
1. Convertissez chaque équation sous la forme \( y = mx + c \) où \( m \) est la pente et \( c \) est l'ordonnée à l'origine.
2. Tracez sur un graphique les droites représentées par ces équations.
3. Trouvez le(s) point(s) d'intersection des lignes.
Exemple :
Considérons le système d'équations suivant :
\[
\begin{cas}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{cas}
\]
Convertissez ces expressions sous la forme pente-ordonnée à l'origine :
\[
\begin{cas}
y = -\frac{2}{3}x + 2 \\
y = 4x – 5
\end{cas}
\]
Tracez les droites sur un graphique pour trouver le point d'intersection qui représente la solution. Dans cet exemple, la solution est \((x, y) = (1.5, 1)\).
2. Méthode de substitution
La méthode de substitution consiste à résoudre l'une des équations pour une variable et à substituer cette expression dans l'autre équation.
Étape:
1. Résolvez l'une des équations pour une variable.
2. Substituez cette expression dans l'autre équation, ce qui donne une seule équation avec une seule variable.
3. Résolvez cette équation à une seule variable.
4. Remplacez la valeur obtenue dans l'expression trouvée à l'étape 1 pour obtenir la valeur de la deuxième variable.
Exemple :
Considérons le système :
\[
\begin{cas}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{cas}
\]
Résolvez la première équation pour \( y \):
\[
y = 2 – \frac{2}{3}x
\]
Substituez cette expression dans la deuxième équation :
\[
4x – (2 – \frac{2}{3}x) = 5
\]
Simplifiez et résolvez pour \( x \):
\[
4x – 2 + \frac{2}{3}x = 5 \\
\frac{14x}{3} = 7 \\
x = \frac{3}{2}
\]
Remplacez \( x = \frac{3}{2} \) dans \( y = 2 – \frac{2}{3}x \):
\[
y = 2 – \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 2 – 1 = 1
\]
Ainsi, la solution est \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).
3. Méthode d'élimination
La méthode d'élimination consiste à additionner ou à soustraire des équations pour éliminer une variable, ce qui permet de résoudre le problème pour la variable restante.
Étape:
1. Multipliez une ou les deux équations par une constante de sorte que les coefficients de l'une des variables soient opposés.
2. Ajoutez ou soustrayez les équations pour éliminer une variable.
3. Résolvez l'équation résultante pour les variables restantes.
4. Substituez cette valeur dans l'une des équations originales pour trouver la valeur de la variable éliminée.
Exemple :
Considérons le système :
\[
\begin{cas}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{cas}
\]
Multipliez la deuxième équation par 3 :
\[
4x – y = 5
12x – 3y = 15
\]
Ajoutez la deuxième équation modifiée à la première équation :
\[
2x + 3y + 12x – 3y = 6 + 15
14x = 21
x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
\]
Substituez \( x = \frac{3}{2} \) dans l'une des équations originales :
\[
2 (3/2) + 3y = 6
3 + 3y = 6
3y = 3 \\
y = 1
\]
Ainsi, la solution est \( \left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).
4. Méthode matricielle (élimination de Gauss et inverse)
Pour les systèmes plus grands, les méthodes matricielles comme l'élimination de Gauss ou l'utilisation de l'inverse de la matrice peuvent être plus efficaces.
Élimination de Gauss :
1. Écrivez le système sous forme de matrice augmentée.
2. Utilisez les opérations sur les lignes pour convertir la matrice en forme échelonnée réduite.
3. Effectuez une substitution inverse pour trouver la solution.
Exemple :
Le système:
\[
\begin{cas}
2x + 3y = 6
4x – y = 5
\end{cas}
\]
Matrice augmentée :
\[
\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
4 & -1 & | & 5
\end{pmatrix}
\]
Opérations sur les lignes pour obtenir la forme échelonnée :
1. \( R2 \leftarrow R2 – 2R1 \):
\[
\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
0 & -7 & | & -7
\end{pmatrix}
\]
Substitution inverse :
\[
-7y = -7 implique y = 1
2x + 3(1) = 6 implique 2x =
