Exemples de questions et discussion : Variance et écart type de données uniques
Les statistiques sont une branche des mathématiques qui s'intéresse à la collecte, l'analyse, l'interprétation, la présentation et l'organisation des données. La variance et l'écart type sont deux concepts importants en statistiques. Cet article expliquera en détail comment calculer la variance et l'écart type d'un ensemble de données à travers plusieurs exemples.
Comprendre la variance et l'écart type
La variance est une mesure qui quantifie la dispersion des valeurs d'un ensemble de données autour de la moyenne. Elle est exprimée en unités carrées de la taille des données initiales, ce qui la rend souvent difficile à interpréter.
L'écart type est la racine carrée de la variance. Il offre une mesure plus intuitive de la dispersion des données autour de la moyenne, car ses unités sont identiques à celles des données d'origine.
Formule générale
Pour des données uniques, la formule de la variance \( \sigma^2 \) et de l'écart type \( \sigma \) de la population est la suivante :
1. Variance (σ²) :
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Écart type (σ) :
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
De mana:
– \( N \) est le nombre de données dans la population.
– \( x_i \) est la ième valeur de données.
– \( \mu \) est la moyenne des données.
Si l'on calcule la variance et l'écart type de l'échantillon, la formule ci-dessus est légèrement modifiée :
1. Variance de l'échantillon (s²) :
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Écart type de l'échantillon (s) :
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
De mana:
– \( n \) est le nombre de données dans l’échantillon.
– \( \bar{x} \) est la moyenne ou la moyenne arithmétique de l'échantillon.
Exemples de questions et discussion
Exemple de question 1 :
Compte tenu des données suivantes :
8, 10, 10, 10, 12, 14
Calculez la variance et l'écart type des données !
Étapes de la solution :
1. Calcul de la moyenne (moyenne) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Calculez la différence entre les données et la moyenne, puis mettez-la au carré :
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Addition de tous les résultats au carré :
\[
\somme (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Calcul de la variance (σ²) des données de population :
\[
σ² = 21.3534/6 = 3.559
\]
Remarque : Puisque ces données sont exprimées en termes de population, nous les divisons par 6.
5. Calcul de l'écart type (σ) :
\[
σ = √3.559 ≈ 1.886
\]
La variance des données est donc de 3.559 et l'écart type est de 1.886.
Exemple de question 2 :
Voici un exemple de données :
5, 6, 8, 9, 10, 11
Calculez la variance et l'écart type de l'échantillon !
Étapes de la solution :
1. Calcul de la moyenne (moyenne arithmétique) \( \bar{x} \) :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Calculez la différence entre les données et la moyenne, puis mettez-la au carré :
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Addition de tous les résultats au carré :
\[
∑ (x_i – x̄)^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Calcul de la variance de l'échantillon (s²) :
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Remarque : Comme il s'agit de données d'exemple, nous divisons par 5 (n-1).
5. Calcul de l'écart type (s) :
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Ainsi, la variance des données de l'échantillon est de 5.351 et l'écart type est de 2.313.
conclusion
Le calcul de la variance et de l'écart type est essentiel pour comprendre la dispersion des données au sein d'un ensemble donné. La variance fournit une mesure théorique de la dispersion en carrés des unités d'origine, tandis que l'écart type interprète cette dispersion en fonction des unités d'origine des données, ce qui la rend plus facile à comprendre. En analyse de données, ces deux mesures sont fréquemment utilisées pour évaluer la variabilité des données et prendre des décisions statistiques.
En comprenant les étapes et les formules nécessaires, nous pouvons facilement calculer la variance et l'écart type pour diverses situations rencontrées lors de la collecte et de l'analyse quotidiennes des données. Cet article vise à approfondir notre compréhension des concepts de variance et d'écart type appliqués à des ensembles de données uniques.
