Exemples de questions et discussion sur la soustraction vectorielle
Pendahuluan
En mathématiques et en physique, les vecteurs sont un concept fondamental permettant d'expliquer de nombreux phénomènes naturels et techniques. Un vecteur est une grandeur qui possède à la fois une magnitude et une direction. Le déplacement, la vitesse, l'accélération et la force sont des exemples importants de vecteurs. Dans cet article, nous aborderons la soustraction de vecteurs, bien que ce sujet soit souvent traité dans le cadre de la combinaison de vecteurs.
La soustraction vectorielle est une opération fondamentale et essentielle en analyse vectorielle. Pour approfondir ce concept, examinons quelques exemples et discussions relatifs à la soustraction vectorielle.
Soustraction vectorielle
La soustraction vectorielle A – B est définie comme l'opération d'addition du vecteur A au vecteur -B, où -B est un vecteur de même norme que B mais de direction opposée. Mathématiquement, cela s'écrit :
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Exemples de questions et discussion
Question 1 : Soustraction de vecteurs bidimensionnels
Supposons qu'il existe deux vecteurs en coordonnées cartésiennes :
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} et {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Calculez {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Discussion:
La première étape consiste à trouver le vecteur négatif de {\displaystyle \mathbf{B}}, à savoir :
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Ensuite, ajoutez le vecteur {\displaystyle \mathbf{A}} avec {\displaystyle -\mathbf{B}} :
{ displaystyle mathbf {A} – mathbf {B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Effectuez une addition vectorielle en additionnant chaque composante x et y :
{ displaystyle mathbf {A} – mathbf {B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Ainsi, le résultat de la soustraction des vecteurs {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} est le vecteur (3, 1).
Question 2 : Soustraction de vecteurs tridimensionnels
Étant donné deux vecteurs en coordonnées tridimensionnelles :
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} et {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Calculez {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
Discussion:
La première étape consiste à trouver le vecteur négatif de {\displaystyle \mathbf{Q}} :
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Ensuite, ajoutez le vecteur {\displaystyle \mathbf{P}} avec {\displaystyle -\mathbf{Q}} :
{ displaystyle mathbf {P} – mathbf {Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Effectuez une addition vectorielle en additionnant chaque composante x, y et z :
{ displaystyle mathbf {P} – mathbf {Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Ainsi, le résultat de la soustraction des vecteurs {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} est le vecteur (5, -9, -1).
Question 3 : Soustraction vectorielle dans le plan complexe
Supposons qu'il existe deux vecteurs représentés par des nombres complexes :
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} et {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Calculez {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Discussion:
La première étape consiste à trouver le vecteur négatif de {\displaystyle \mathbf{N}} :
{ displaystyle - mathbf {N} = -1 – 2i}
Ensuite, ajoutez le vecteur {\displaystyle \mathbf{M}} avec {\displaystyle -\mathbf{N}} :
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Effectuez une addition vectorielle en additionnant chaque composante réelle et imaginaire :
{ displaystyle mathbf {M} – mathbf {N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Ainsi, le résultat de la soustraction des vecteurs {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} est le nombre complexe 2 + 2i.
Question 4 : Soustraction vectorielle en coordonnées polaires
Supposons qu'il existe deux vecteurs en coordonnées polaires :
{\displaystyle \mathbf{U}} a une magnitude de 5 et un angle de 30°,
et {\displaystyle \mathbf{V}} a une magnitude de 3 et un angle de 150°.
Calculer {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.
Discussion:
La première étape consiste à convertir les vecteurs {\displaystyle \mathbf{U}} et {\displaystyle \mathbf{V}} en coordonnées cartésiennes.
Pour { displaystyle mathbf {U}} :
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Donc {\displaystyle \mathbf{U}} en cartésien est (4.33, 2.5).
Pour { displaystyle mathbf {V}} :
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Donc {\displaystyle \mathbf{V}} en cartésien est (-2.598, 1.5).
Étape suivante : calculer la soustraction vectorielle en coordonnées cartésiennes :
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Ce qui signifie en ajoutant l'opposé du vecteur :
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Ainsi, le résultat de la soustraction du vecteur {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} en coordonnées cartésiennes est (6.928, 1).
conclusion
La soustraction vectorielle est une opération mathématique essentielle dans de nombreux domaines utilisant l'analyse vectorielle. Que ce soit en coordonnées bidimensionnelles, tridimensionnelles, complexes ou polaires, le principe de base reste le même : additionner un vecteur à l'opposé d'un autre. Les exemples ci-dessus illustrent différentes applications de cette opération dans divers contextes, nous permettant ainsi de mieux comprendre ce concept, tant sur le plan pratique que global.
