Exemples de questions et discussion sur la corrélation des moments du produit
La corrélation de Pearson, également appelée corrélation de produit, est une méthode statistique permettant de mesurer l'intensité et le sens d'une relation linéaire entre deux variables. Cette méthode est utile dans de nombreux domaines, de la recherche académique à l'analyse commerciale, en passant par l'évaluation d'expériences en sciences naturelles. Cet article présente plusieurs exemples de calcul de la corrélation de produit et leurs solutions.
Pendahuluan
Avant d'aborder les exemples de questions, il est utile de comprendre le concept de base de la corrélation de Pearson. La formule générale utilisée pour calculer le coefficient de corrélation de Pearson (r) est :
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana :
– \( n \) est le nombre de paires de données.
– \( \sum{XY} \) est la somme des produits de \( X \) et \( Y \).
– \( \sum{X} \) est la somme des variables \( X \).
– \( \sum{Y} \) est la somme des variables \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) est la somme des carrés de la variable \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) est la somme des carrés de la variable \( Y \).
Le coefficient de corrélation de Pearson (r) est toujours compris entre -1 et 1. Une corrélation positive indique que les deux variables évoluent dans le même sens, tandis qu'une corrélation négative indique que lorsque l'une des variables augmente, l'autre diminue. Si r = 0, il n'y a pas de corrélation linéaire entre les deux variables.
Exemple de question 1
Centres de données
Voici les résultats des examens de mathématiques et de physique de 5 élèves :
| Étudiant | Mathématiques (X) | Physique (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Étapes de résolution
1. Calcul des composantes importantes :
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Entrez dans la formule :
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Calcul des résultats :
– Numérateur : \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Dénominateur :
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
Ainsi, le coefficient de corrélation de Pearson entre les scores des tests de mathématiques et de physique est de 0.633, ce qui indique qu'il existe une corrélation positive modérée entre les deux variables.
Exemple de question 2
Centres de données
Voici des données sur le chiffre d'affaires et les dépenses publicitaires sur une période de 6 mois au sein d'une entreprise :
| Mois | Publicité (X) | Ventes (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Étapes de résolution
1. Calcul des composantes importantes :
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Entrez dans la formule :
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Calcul des résultats :
– Numérateur : \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Dénominateur :
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
Ainsi, le coefficient de corrélation de Pearson entre les dépenses publicitaires et la valeur des ventes est de 0.981, ce qui indique qu'il existe une très forte corrélation positive entre les deux variables.
conclusion
Le coefficient de corrélation de Pearson (r) est un outil très utile pour comprendre la relation linéaire entre deux variables. Les exemples fournis montrent comment calculer et interpréter la valeur de r. Une corrélation élevée (proche de 1 ou -1) indique une relation forte, tandis qu'une corrélation faible (proche de 0) indique une relation faible. Il est important de noter que corrélation n'implique pas causalité ; elle indique simplement l'existence d'une relation entre les deux variables.
