Exemples de questions portant sur la position d'un point par rapport à un cercle
Déterminer la position d'un point par rapport à un cercle est un concept fondamental de la géométrie, notamment dans l'étude des cercles. Cet article présente plusieurs exemples de problèmes liés à la position d'un point par rapport à un cercle, accompagnés d'explications. Ceci permettra de mieux comprendre ce concept grâce à des applications pratiques.
Pendahuluan
Avant de nous pencher sur les exemples de questions, rappelons les trois positions possibles d'un point sur un cercle :
1. À l'intérieur d'un cercle : Si la distance d'un point au centre du cercle est inférieure au rayon du cercle.
2. À l'extérieur du cercle : Si la distance du point au centre du cercle est supérieure au rayon du cercle.
3. Sur un cercle : Si la distance du point au centre du cercle est la même que le rayon du cercle.
Mathématiquement, la position du point \(T(x_1, y_1)\) par rapport au cercle centré en \((a, b)\) de rayon \(r\) peut être déterminée en comparant \(T(x_1, y_1)\) avec l'équation du cercle, à savoir :
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Si le résultat de la substitution de \(x_1\) et \(y_1\) dans l'équation donne la valeur :
– Plus petit que \(r^2\), le point est à l'intérieur du cercle.
– Supérieur à \(r^2\), le point est à l'extérieur du cercle.
– Identique à \(r^2\), le point est sur le cercle.
Exemples de questions et discussion
Sol 1
Déterminez la position du point \(T(3, 4)\) par rapport au cercle d'équation \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \).
Discussion:
La première étape consiste à évaluer l'équation du cercle et à trouver la distance du point \(T(3, 4)\) au centre du cercle \((1, 2)\).
1. Identifiez le centre et le rayon du cercle :
Équation d'un cercle : \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Centre du cercle (\(a, b\)): (1, 2)
– Rayon du cercle (\(r\)): \(\sqrt{25} = 5\)
2. Calculez la distance entre le point \(T(3, 4)\) et le centre du cercle \( (1, 2) \):
\[
D = \sqrt{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
La valeur \( 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \) (inférieure à \(5\)).
3. Conclusion :
Karena \( 2\sqrt{2} < 5 \), maka titik \( T(3, 4) \) berada di dalam lingkaran.
Soal 2
Sebuah lingkaran memiliki pusat di titik \( (0, 0) \) dan jari-jari 7. Tentukan kedudukan titik \(P(5, 6)\) terhadap lingkaran.
Pembahasan:
1. Persamaan Lingkaran:
Persamaan lingkaran dengan pusat di (0, 0) dan jari-jari 7 adalah:
\[
x^2 + y^2 = 49
\]
2. Menghitung jarak dari titik \( P(5, 6) \) ke pusat lingkaran \( (0, 0):
\[
D = \sqrt{(5 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}
\]
Nilai \( \sqrt{61} \approx 7.81 \).
3. Kesimpulan:
Karena \( \sqrt{61} > 7 \), maka titik \( P(5, 6) \) berada di luar lingkaran.
Sol 3
Déterminez la position du point \(M(2, -1)\) par rapport au cercle d'équation \( x^2 + y^2 = 5 \).
Discussion:
1. Calculez la distance du point \(M(2, -1)\) au centre du cercle \( (0, 0) :
\[
D = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. Comparez la distance \(D\) avec le rayon du cercle :
Rayon du cercle (\(r\)) = \(\sqrt{5}\).
3. Conclusion :
Puisque \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), alors le point \( M(2, -1) \) est sur le cercle.
Sol 4
Un cercle de centre \( (4, 3) \) a un rayon de \(\sqrt{10}\). Indiquez la position du point \( N(7, 7) \) par rapport à ce cercle.
Discussion:
1. Équation du cercle :
L'équation d'un cercle de centre \( (4, 3) \) et de rayon \( \sqrt{10} \) est :
\[
(x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 10
\]
2. Calculez la distance du point \( N(7, 7) \) au centre du cercle \( (4, 3) \):
\[
D = \sqrt{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Conclusion :
Puisque \( 5 > \sqrt{10} \), alors le point \( N(7, 7) \) est à l'extérieur du cercle.
Clôture
En comprenant comment calculer la distance d'un point au centre d'un cercle et en la comparant au rayon, on peut facilement déterminer la position de ce point par rapport au cercle. Cet article vise à fournir une compréhension claire de ce concept et de la manière de résoudre les problèmes liés à la position d'un point par rapport à un cercle.
En pratique, la connaissance de la position de ces points est extrêmement utile dans diverses applications mathématiques, notamment l'analyse géométrique, la conception graphique et l'ingénierie. Par conséquent, la maîtrise de ce concept constitue un fondement important qui mérite une attention particulière et une compréhension approfondie.
