Exemples de questions et discussion sur les fonctions croissantes, les fonctions décroissantes et les fonctions stationnaires
Les fonctions mathématiques constituent un sujet complexe et présentent de nombreuses caractéristiques, notamment la possibilité de les analyser selon leur état croissant, décroissant ou stationnaire. Déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle donné est crucial dans diverses applications des mathématiques, telles que l'économie, la physique et l'ingénierie. Cet article abordera des exemples et leur analyse en lien avec les fonctions croissantes, décroissantes et stationnaires.
Que sont les fonctions croissantes, les fonctions décroissantes et les fonctions stationnaires ?
1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta. Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \).
– Pour \( x \in (-1, 2) \): Prendre \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Puisque \( f'(0) < 0 \), alors \( f(x) \) est décroissante sur l'intervalle \( (-1, 2) \). - Pour \( x \in (2, \infty) \) : Prenons \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] Puisque \( f'(3) > 0 \), alors \( f(x) \) est croissante sur l'intervalle \( (2, \infty) \).
Ainsi, la fonction \( f(x) \) est croissante sur l'intervalle \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Exemple 2 : Détermination de l’intervalle de décroissance de la fonction
Étant donné la fonction \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \), déterminez les intervalles sur lesquels la fonction est décroissante.
Discussion:
1. Étape 1 : Trouver la dérivée première :
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. Étape 2 : Déterminer le point critique :
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Les points critiques sont donc \( x = 0 \) et \( x = \frac{3}{2} \).
3. Étape 3 : Déterminer le signe de la dérivée première sur l’intervalle :
– Pour \( x \in (-\infty, 0) \) : Prendre \( x = -1 \)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \).
- Untuk \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Ambil \( x = 1 \)
\[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \]
Karena \( g'(1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (0, \frac{3}{2}) \).
- Untuk \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ambil \( x = 2 \)
\[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \]
Karena \( g'(2) > 0 \), maka \( g(x) \) naik pada interval \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
Ainsi, la fonction \( g(x) \) décroît sur l'intervalle \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Exemple de question 3 : Déterminer l’intervalle d’une fonction au repos
Étant donné la fonction \( h(x) = 7 \), déterminez les intervalles où la fonction est stationnaire !
Discussion:
Une fonction constante telle que \( h(x) = 7 \) a une dérivée première nulle pour tout \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
Puisque la première dérivée est toujours nulle, la fonction est stationnaire sur tout le domaine, donc nous pouvons dire que la fonction \( h(x) = 7 \) est stationnaire sur tous les nombres réels, ce qui en notation d'intervalle est \( (-\infty, \infty) \).
conclusion
Comprendre les intervalles de croissance, de décroissance et de stationnarité d'une fonction est essentiel en analyse fonctionnelle. Les exemples précédents ont présenté les concepts et les étapes fondamentales nécessaires à la détermination de ces intervalles. Ces connaissances sont extrêmement utiles dans de nombreuses applications pratiques et théoriques des mathématiques.
