Artikkeli Poiseuillesin yhtälöstä
Poiseuillen yhtälön löysi Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Kuten selitettiin, jokaista nestettä voidaan pitää ideaalisena nesteenä. Ideaalisella nesteellä ei ole viskositeettia. Jos oletamme, että ihanteellinen neste virtaa putkessa, jokainen nesteen osa liikkuu samalla nopeudella (v). Toisin kuin ideaalisella nesteellä, jokapäiväisessä elämässä kohtaamamme neste on viskositeettinen. Koska sillä on viskositeetti, esimerkiksi putkessa virratessa nesteen kunkin osan nopeus vaihtelee. Keskellä oleva nestekerros liikkuu nopeammin (syvä v), kun taas putkeen kiinnittynyt nestekerros ei liiku (v = 0). Joten putken keskeltä reunaan jokainen nesteen osa liikkuu eri nopeuksilla. Ymmärryksen helpottamiseksi katso alla olevaa kuvaa.
R = putken/letkun säde
v 1 = nesteen virtausnopeus keskellä / putken akselilla
v 2 = nesteen virtausnopeus, joka on r 2 putken reunasta mitattuna
v3 = nesteen virtausnopeus r3 putken reunasta mitattuna
v 4 = nesteen virtausnopeus r 4 putken reunasta mitattuna
r = etäisyys
Jotta nesteen jokaisen osan virtausnopeus olisi sama, putken tai minkä tahansa putken, jonka läpi neste kulkee, kummassakin päässä on oltava paine-ero. Nesteellä tarkoitetaan tässä todellista nestettä, esimerkiksi putkessa virtaavaa vettä tai öljyä, verisuonessa virtaavaa verta jne. Sen lisäksi, että paine-ero auttaa oikeaa nestettä virtaamaan tasaisesti, se voi myös saada nesteet virtaamaan eri korkuisissa putkissa.
Jean Louis Marie Poiseuille, entinen ranskalainen tiedemies, joka oli kiinnostunut ihmisen verenkierron fysikaalisista näkökohdista, tutki, miten tekijät, kuten paine-erot, putken poikkipinta-ala ja putken koko, vaikuttavat todelliseen nesteen virtausnopeuteen. Jean Louis Marie Poiseuillen saamat tulokset tunnetaan Poiseuillen yhtälönä.
Poiseuillen yhtälö voidaan johtaa aiemmin lasketun viskositeettikerroinyhtälön avulla. Käytämme viskositeettiyhtälöä, koska tapaukset ovat samankaltaisia, vaikka ne eivät olekaan samoja. Viskositeettikerroinyhtälöä johdettaessa tarkastellaan todellisen nestekerroksen virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä, ja neste voi liikkua vetovoiman (F) ansiosta. Ero on siinä, että johtamamme Poiseuillen yhtälö ilmaisee tekijät, jotka vaikuttavat todellisen nesteen virtaukseen putkessa/letkussa sekä paine-eron vaikutuksesta virtaavaan nesteeseen. Siksi viskositeettikerroinyhtälöä on muutettava uudelleen.
Neste voi virrata paine-eron vuoksi (neste virtaa korkeapaineisesta paikasta matalapaineiseen paikkaan), jolloin F korvataan muutoksilla p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Viskositeettikertoimen yhtälöä johdettaessa tarkastellaan todellisen nestekerroksen virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä. Nesteen jokainen osa muuttaa säännöllistä nopeuttaan l:n verran. Tässä tapauksessa nesteen virtausnopeus muuttuu säännöllisesti putken akselista putken reunaan. Neste virtaa putken akselilla suuremmalla (v) nopeudella. Mitä enemmän reunaa, sitä pienempi nesteen nopeus. Putken säde = putken akselin ja putken reunan välinen etäisyys = R. Nesteen kunkin osan ja putken reunan välinen etäisyys = r. Koska nesteen kunkin osan määrä on valtava ja etäisyys putken reunasta on myös erilainen, kirjoitamme vain näin:
v1 = nesteen nopeus putken reunasta etäisyydellä r1 ( r1 = R)
v 2 = nesteen nopeus putken reunasta etäisyydellä r 2 (r 2 < r 1 )
v3 = nesteen nopeus etäisyydellä r3 putken reunasta ( r3 < r2 < r1 )
v 4 = nesteen nopeus putken reunasta etäisyydellä r 4 (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
............................................. ..
v n = nesteen virtausnopeus putken reunasta etäisyydellä rn (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
Nesteen jokaisen osan määrä on valtava, emmekä tiedä tarkalleen, kuinka suuri määrä todellisuudessa on, joten riittää, että se kirjoitetaan symbolilla n. Jokainen nesteen osa muuttaa nopeuttaan (v) säännöllisesti putken akselista (r1 = R) putken reunaan (rn). Putken akselista (r1 = R) putken reunaan (rn) nesteen jokaisen osan nopeus on pienempi (v1 > v2 > v3 > v4 > ….> vn ).
Yllä olevan selityksen perusteella voimme saada kuvan, että virtausnopeus pienenee R:stä rn:ään. Putken pituus = L. Saatu yhtälö:
Koska tarkastelemme nesteen virtausnopeutta , yhtälöstä 2 tulee :
Tämä on nesteen virtausnopeuden yhtälö etäisyydellä r putkesta, jonka säde on R. Jos yllä oleva kuva hämmentää… Huomaa, että neste virtaa putkessa, joten meidän on tarkasteltava nestetilavuuden virtausnopeutta.
Putken sisällä on nestettä. Esimerkiksi jaamme nesteen pieniin osiin, joissa jokaisen osan pinta-ala on dA, ne ovat etäisyydellä putken akselista ja niiden virtausnopeus on v. Matemaattisesti se voidaan kirjoittaa seuraavasti:
dA 1 = nesteen osa 1, joka on dr 1: n etäisyydellä putken akselista
dA 2 = nesteen osa 2, joka on dr 2: n etäisyydellä putken akselista
dA 3 = nesteen osa 3, joka on dr 3: n etäisyydellä putken akselista
..................................
dAn = nesteen osa n, joka on dn:n etäisyys putken akselista
Nesteen osia on hyvin monta, joten se kirjoitetaan vain symbolilla n käytännöllisyyden vuoksi. Nesteen kunkin osan tilavuusvirtausnopeus voidaan kirjoittaa matemaattisesti seuraavasti:
Jokainen nesteen osa on etäisyydellä r = 0 - r = R (R = putken säde). Toisin sanoen, nesteen kunkin osan etäisyys vaihtelee mitattuna putken akselista. Saamme nesteen tilavuusvirtausyhtälön putkessa:
Q = virtausvirtaus, R = putken tai letkun säde, η = viskositeettikerroin, P1 – p2 = paine - ero putken kahden pään välillä, L = putken pituus, p1 -p2 / L = painegradientti (nesteen virtaus on aina painehäviön suuntaan)
Yllä olevan Poiseuillen yhtälön perusteella näyttää siltä, että nestetilavuuden virtausnopeus (Q) on verrannollinen putken säteeseen (R 4 ), painegradienttiin (p 2 – p 1 / L) ja kääntäen verrannollinen viskositeettiin. Jos putken säde lisätään (viskositeettikerroin ja kiinteä painegradientti), nesteen virtausnopeus kasvaa kertoimella 16.
Putkisuunnittelun peruskonseptissa käytetään tätä yhtälöä. Nestevirtaus on verrannollinen R4 :ään (R = putken säde). Ruiskun tai putkisormien säde on laskettava huolellisesti. Esimerkiksi jos neulan säde kaksinkertaistetaan (rx 2), ruiskutettavan nesteen määrä = lisää peukalon puristusvoimaa 16-kertaisesti.
Poiseuillen yhtälö osoittaa myös, että säde (r 4 ) on kääntäen verrannollinen putken kahden pään väliseen paine-eroon. Esimerkiksi veri virtaa ensin verisuonessa, jonka sisäsäde on r. Jos valtimot kapenevat (esim. r/2 = verisuonten säde pienenee kaksinkertaiseksi),
sitten tarvitaan 16-kertainen paine-ero, jotta veri virtaa kuten aiemmin (niin että virtausnopeus on vakio).
