Täydellisen elastiset törmäykset
Kahden kappaleen törmäystä kutsutaan täysin elastiseksi törmäykseksi, jos kummankin kappaleen liikemäärä tai kineettinen energia ennen törmäystä on yhtä suuri kuin kummankin kappaleen liikemäärä ja kineettinen energia törmäyksen jälkeen. Toisin sanoen liikemäärän säilymislaki ja kineettisen energian säilymislaki soveltuvat täydellisesti elastisiin törmäyksiin. Sana "elastinen" osoittaa, että törmäyksen jälkeen kappaleet eivät tartu toisiinsa tai ole kiinni toisissaan, vaan kimpoavat toisistaan. Molempien kappaleiden liikemäärä säilyy.
Kunkin kappaleen liikemäärä säilyy.
m1v1 + m2v2 = m1v1 ' + m2v2 ' …………… .. Yhtälö 1.5
Kunkin kappaleen kineettinen energia säilyy.
1⁄2 mv 1 / 2 + 1⁄2 mv 2 / 2 = 1⁄2 mv 1 ' 2 + 1⁄2 mv 2 ' 2 …………….. Yhtälö 1.6
[irp]
Täydellisen elastisen törmäyksen on oltava äänetön eikä se saa tuottaa lämpöä kahden törmäävän kappaleen välisen kitkan vuoksi. Jos kahden kappaleen törmäys tuottaa kohinaa ja lämpöä, kappaleiden liike-energia ei säily. Osa kineettisestä energiasta muuttuu ääni- ja lämpöenergiaksi, ja osa muuttuu sisäiseksi energiaksi. Esimerkki täydellisen elastisesta törmäyksestä on atomien ja subatomisten hiukkasten törmäys.
Täydellisen elastisen törmäyksen ongelmassa, jos alkunopeus tunnetaan ja loppunopeus on tuntematon, ongelmaa ei voida ratkaista käyttämällä vain yhtälöitä 1.5 ja 1.6. Tästä syystä molempia yhtälöitä manipuloidaan johtamaan muita yhtälöitä, joita voidaan käyttää loppunopeuden määrittämiseen.
Poista tekijä 1/2 ja käsittele sitten tekijää 1.6
m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 = m 1 v 1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
m 1 v 1 2 – m 1 v 1 ' 2 = m 2 v 2 ' 2 – m 2 v 2 2
m1 ( v12 – v1'2 ) = m2 ( v2'2 – v22 ) — > (a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 - v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' - v 2 ) …………………….. Yhtälö 1.7
[irp]
Yhtälön 1.5 manipulointi
m 1 v 1 – m 1 v 1 ' = m 2 v 2 ' - m 2 v 2
m1 ( v1 – v1 ' ) = m2 ( v2 ' – v2 ) …………….. Yhtälö 1.8
Jaa yhtälö 1.7 yhtälöllä 1.8 saadaksesi lopullisen tuloksen
(v 1 + v 1 ') = (v 2 ' + v 2 )
v1 – v2 = v2 ' – v1 '
v1 – v2 = – ( v1 ' – v2 ' ) …………….. Yhtälö 1.9
Yhtälöitä 1.5 ja 1.9 voidaan käyttää täysin elastisten törmäysten ratkaisemiseen. Yhdistä yhtälöt 1.5 ja 1.9 saadaksesi kaksi yhtälöä kahden kappaleen loppunopeuksien määrittämiseksi, jos niiden massat ja alkunopeudet ovat tuntemattomia.
Kun ratkaiset tehtäviä yllä olevien yhtälöiden avulla, käytä oikeaa etumerkkiä muutoksille v 1 ja v 2. Jos esine 1 liikkuu oikealle, v 1 on positiivinen, ja päinvastoin, jos esine kaksi liikkuu vasemmalle, v 2 on negatiivinen. Jos molemmat esineet liikkuvat eri suuntiin, mutta liikesuunnista ei ole tietoa, v 1:n ja v 2:n on oltava etumerkillisiä eri tavalla, esimerkiksi v 1 on positiivinen ja v 2 on negatiivinen.
4.1.1 Kaksi saman massaista kappaletta
Jos m1 = m2 , niin v1 ' = v2 ja v2 ' = v1.
Entä jos kaksi kappaletta liikkuvat eri suuntiin?
Esimerkiksi, jos ennen törmäystä kohde 1 liikkuu oikealle ja kohde 2 liikkuu vasemmalle, kohde 1 liikkuu törmäyksen jälkeen vasemmalle ( v1 ' = –v2 ) ja kohde 2 liikkuu oikealle (v2 ' = v1 ).
Entä jos jompikumpi kappaleista on aluksi levossa?
Esimerkiksi, jos ennen törmäystä kappale 2 on levossa (v2 = 0), kappale 1 on levossa ( v1 ' = 0) ja kappale 2 liikkuu samalla nopeudella kuin kappaleen 1 alkunopeus (v2 ' = v1 ) törmäyksen jälkeen. Jos ennen törmäystä kappale 1 liikkuu oikealle, kappale 2 liikkuu oikealle törmäyksen jälkeen. Näin ollen kappaleet vaihtavat nopeuksia.
[irp]
Esimerkkikysymys 4
Kappaleet A (2 kg) ja B (2 kg) liikkuvat vastakkaisiin suuntiin nopeuksilla 4 m/s ja 2 m/s. Jos kappaleet A ja B törmäävät täysin elastisessa törmäyksessä, mitkä ovat kappaleiden A ja B lopulliset nopeudet?
Tunnettu:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 4 m/s, v B = – 2 m/s
Etsitään: v A ' ja v B '
ratkaisu:
v A ' = – 2 m/s ja v B ' = 4 m/s
Törmäyksen jälkeen kappale A liikkuu nopeudella 2 m/s ja kappale B nopeudella 4 m/s vastakkaisiin suuntiin. Jos ennen törmäystä kappale A liikkuu oikealle ja kappale B vasemmalle, kappale A liikkuu törmäyksen jälkeen vasemmalle ja kappale B oikealle.
Esimerkkikysymys 5
Kappale A (2 kg) liikkuu oikealle nopeudella 2 m/s ja törmää levossa olevaan kappaleeseen B (2 kg). Jos kappaleet törmäävät täysin elastisessa törmäyksessä, mitkä ovat kappaleiden A ja B lopulliset nopeudet?
Tunnettu:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 2 m/s, v B = 0 m/s
Etsitään: v A ' ja v B '
ratkaisu:
v A ' = 0 ja v B ' = 2 m/s
Törmäyksen jälkeen kappale A on levossa ja kappale B liikkuu oikealle nopeudella 2 m/s.
[irp]
4.1.2 Kaksi eri massaista kappaletta
Jos kahdella kappaleella on eri alkunopeudet ja massat (pieni ero), lopulliset nopeudet tunnetaan yhtälöiden 1.10 ja 1.11 avulla.
Jos kohde 2 on aluksi levossa (v2 = 0), yhtälöstä 1.10 tulee yhtälö 1.12 ja yhtälöstä 1.11 tulee yhtälö 1.13.
Jos v 2 = 0, m 1 on hyvin suuri ja m 2 on hyvin pieni, ratkaisemalla yhtälöt 1.12 ja 1.13 saadaan v 1 ' = v 1 ja v 2 ' = 2v 1. Jos v 2 = 0, m 1 on hyvin pieni ja m 2 on hyvin suuri, ratkaisemalla yhtälöt 1.12 ja 1.13 saadaan v 1 ' = -v 1 ja v 2 ' = 0. Positiiviset ja negatiiviset merkit osoittavat vastakkaiset liikesuunnat.
Esimerkkikysymys 6
Kappale, jonka massa on 1 kg, liikkuu 20 m/s nopeudella ja törmää seinään täysin elastisessa törmäyksessä. Mitkä ovat kappaleen ja seinän lopulliset nopeudet?
Tunnettu:
m A = 1 kg, v A = 20 m/s, m B = erittäin suuri, v B = 0
Etsitään : v A ' ja v B '
ratkaisu:
vA ' = -20 m/s ja vB ' = 0
Törmäyksen jälkeen kappale A kimpoaa siitä 20 m/s nopeudella ja kappale B pysyy paikallaan. Jos kappale A liikkuu ennen törmäystä oikealle, se liikkuu törmäyksen jälkeen vasemmalle.
