Artikkeli Arkhimedeen periaatteesta
Jättimäinen laiva ei uppoa, kun taas pieni kivi voi upota. Miksi näin on? Vastaus on yksinkertainen, jos ymmärrät kelluvuuden käsitteen ja Arkhimedeen periaatteen.
Arkielämässä huomaamme, että nesteeseen, kuten kallioon, työnnettyjen esineiden paino on pienempi kuin silloin, kun esineet eivät ole nesteessä. Kiven nostaminen maasta voi olla vaikeaa, mutta sama kivi nousee vaivattomasti meriveden pohjasta. Tämä johtuu kelluvuusvoimasta. Kelluvuus johtuu nesteen paineen eroista eri syvyyksissä. Nesteen paine kasvaa syvyyden mukana: mitä paksumpaa neste, sitä suurempi nesteen paine. Kun esine työnnetään nesteeseen, sen yläosassa olevan nesteen ja sen pohjassa olevan nesteen välillä on paine-ero. Esineen pohjalla olevalla nesteellä on korkeampi paine kuin sen yläosassa olevalla nesteellä.
Kuvassa näkyy vedessä kelluva esine. Esineen pohjalla olevalla nesteellä on korkeampi paine kuin esineen päällä olevalla nesteellä. Tämä johtuu siitä, että esineen alla olevalla nesteellä on merkittävämpi syvyys kuin esineen yläpuolella olevalla nesteellä (p2 > h1).
Nesteen paine h-syvyydessä2 on:
Nesteen paine h-syvyydessä1 on:
F2 = nesteen kappaleen pohjaan kohdistama voima, F1 = nesteen kappaleen yläosaan kohdistama voima, A = kappaleen pinta-ala
Ero F:n välillä2 ja F1 on nesteen kappaleeseen kohdistama kokonaisvoima, jota kutsutaan kelluvuusvoimaksi. Kelluvuuden määrä on:
F kelluvuus =F2 − F1
F kelluvuus = (ρgh2 A) − (ρgh1 A)
F kelluvuus = ρ g A (h2 - h1)
F kelluvuus = ρ F g A h
F kelluvuus = ρF g V
ρF = nesteen tiheys, g = gravitaatiokiihtyvyys, V = nesteessä olevien kappaleiden tilavuus
Voimme siis kirjoittaa yhtälön, joka ilmaisee yllä olevan kelluvuuden määrän (F kelluvuus):
F kelluvuus = ρF g₀V → m = ρ₀V
F kelluvuus = mF g
F kelluvuus = wF
mF g = wF = nesteen paino, jonka tilavuus on sama kuin upotetun kappaleen tilavuus.
Yllä olevan yhtälön perusteella voimme sanoa, että kellukevoima on yhtä suuri kuin syrjäytettävän nesteen paino ja syrjäytetyn nesteen tilavuus on yhtä suuri kuin nesteeseen kastetun kappaleen tilavuus.
Jos esine työnnetään nesteeseen kelluvana, jossa työnnetty osa esineestä on vain osa,
niin syrjäytetyn nesteen tilavuus = nesteeseen kastetun kappaleen osan tilavuus. Esineestä ja sen muodosta riippumatta kaikki kokevat saman asian. Tämä on Arkhimedeen (287-212 eKr.) työn tulos, joka tunnetaan Arkhimedeen periaatteena.
Arkhimedeen periaate sanoo, että:
Kun esine upotetaan kokonaan tai osittain nesteeseen, neste kohdistaa esineeseen ylöspäin suuntautuvan voiman (kelluvan voiman), jossa ylöspäin suuntautuvan voiman (kelluvan voiman) määrä on yhtä suuri kuin syrjäytettävän nesteen paino.
Arkhimedeen tarina
Arkhimedes, joka eli vuosina 287–212 eaa., sai kuningas Hieron II:lta tehtäväksi tutkia, oliko kuninkaalle tehty kruunu tehty puhtaasta kullasta vai ei. Saadakseen selville, onko kruunu tehty puhtaasta kullasta vai sisältääkö se muita metalleja, Arkhimedes oli aluksi hämmentynyt. Ongelmana oli, että kruunun muoto on epäsäännöllinen, eikä sitä voida ensin rikkoa, jotta voitaisiin määrittää, onko kruunu tehty puhtaasta kullasta vai ei.
Kruunun puhtaasta kullasta valmistetun kruunun määrittämisen ideana on ensin määrittää kruunun paino ja verrata sitä sitten kullan ominaispainoon. Jos kruunu on valmistettu puhtaasta kullasta, kruunun ominaispaino = kullan ominaispaino.
Kappaleen ominaispaino on kappaleen ilmassa olevan painon ja kappaleiden tilavuuksien kanssa saman tilavuuden omaavan veden painon suhde. Matemaattisesti kirjoitettuna:
Kuinka määrittää veden paino, jonka tilavuus on sama kuin esineiden tilavuus?
Arkhimedeen mukaan veden paino, jonka tilavuus on sama kuin kappaleen tilavuus, = kelluvuusvoiman määrä, kun kappale uppoaa (koko osa kappaleesta upotetaan veteen). Tämä on sama kuin kappaleiden paino, joka menetetään punnittaessa vedessä. Siksi:
Kruunun ominaispainon määrittämiseksi kruunu punnitaan ensin ilmassa (kruunun paino ilmassa). Sitten kruunu upotetaan veteen ja punnitaan uudelleen, jotta saadaan kruunun painohäviö. Joten:
Kun kruunun ominaispaino on saatu, sitä verrataan kullan ominaispainoon. Kullan ominaispaino = 19.3. Jos kruunun ominaispaino = kullan ominaispaino, kruunu on valmistettu puhtaasta kullasta. Mutta jos kruunu ei ole valmistettu puhtaasta kullasta, kruunun ominaispaino ei ole sama kuin kullan ominaispaino.
Miksi laiva ei uppoa?
Jos kappaleen tiheys on pienempi kuin veden tiheys, kappale kelluu. Kääntäen, jos kappaleen tiheys on suurempi kuin veden tiheys, kappale uppoaa. Useimmat laivat on valmistettu raudasta ja teräksestä. Raudan ja teräksen tiheys = 7.8 x 103 kg / m3 kun taas veden tiheys = 1.00 x 103 kg / m3Näyttää siltä, että raudan ja teräksen tiheys on suurempi kuin veden tiheys. Tässä tapauksessa raudan ja teräksen ominaispaino = 7.8. Laivan pitäisi upota. Miksi laiva ei uppoa? Laivan kokonaistiheys on pienempi kuin veden tai meriveden tiheys.
Esimerkkitehtävä 1:
Lammen pohjalla on 40 kg painava kivi. Jos kiven tilavuus on 0.2 m3, mikä on pienin voima, joka tarvitaan kiven nostamiseen?
Tunnettu:
Kiven massa (m) = 40 kg
Kiven tilavuus (V) = 0.02 m3
Veden tiheys = 1000 kg/m³3
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/s2
Halusi: F-minimi
Ratkaisu:
F kelluvuus = wF
F kelluvuus = mF g → m = pV
F kelluvuus = ρF g V
F kelluvuus = (1000 kg/m²3)(10 m/s2)(0.02 m3)
F kelluvuus = 200 kg m/s2
F kelluvuus = 200 N.
kiven paino (w) = mg
kiven paino = (40 kg)(10 m/s2)
kiven paino = 400 kg m/s2
kiven paino = 400 N
Nostamiseen tarvittava vähimmäisvoima Ishayoiden opettaman kivi:
kiven paino – kelluvuusvoima = 400 N – 200 N = 200 N
Esimerkkitehtävä 2:
Kappaleen paino ilmassa = 5000 kg m/s2 ja esineen paino vedessä = 4000 kg m/s2Jos kappaleen tiheys = 2000 kg/m³3 , mikä on kappaleen massa ja tilavuus? g = 10 m/s2
Ratkaisu
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/s2
Kappaleen tiheys = 2000 kg/m³3
Veden tiheys = 1000 kg/m³3
Kappaleen paino ilmassa = 5000 kg m/s2
Esineen paino vedessä = 4000 kg m/s2
Kelluvuusvoima (F kelluvuus) = kappaleen paino ilmassa – kappaleen paino vedessä
F kelluvuus = 5000 kg m/s2 – 4000 kg m/s2
F kelluvuus = 1000 kg m/s2
F kelluvuus = syrjäytetyn veden paino
F kelluvuus = (veden massa)(g)
F kelluvuus = (syrjäytyneen veden tilavuus)(veden tiheys)(g)
Syrjäytyneen veden tilavuus = vedessä olevan esineen tilavuus
Esineen tilavuus = 0.1 m3
Kappaleen massa = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = (2000 kg / m²3)(0.1 m3)
m = 200 XNUMX kg
Esineen massa = 200 kg
Esimerkkitehtävä 3:
Kuinka paljon heliumia tarvitaan, jos ilmapallon on nostettava 500 kg kuormaa?
Ratkaisu:
Heliumin tiheys = 0.1786 kg/m³3
Ilman tiheys = 1.293 kg/m³3
Kelluvuusvoima = syrjäytetyn ilman paino = kappaleen paino + heliumin paino
Kelluvuusvoima = kappaleen paino + heliumin paino
Kelluvuusvoima = (kuorman massa)(g) + (heliumin massa)(g)
Kelluvuusvoima = (kuorman massa + heliumin massa) g —- yhtälö 1
Kelluvuusvoima = syrjäytetyn ilman paino
Kelluvuusvoima = (syrjäytyneen ilman massa)(g) —- yhtälö 2
Yhdistämme yhtälön 1 ja yhtälön 2:
(kuorman massa + heliumin massa)(g) = (syrjäytyneen ilman massa)(g)
kuorman massa + heliumin massa = syrjäytetyn ilman massa
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ vesi)(V vesi)
500 kg = (ρ vesi)(V vesi) – (ρ helium)(V helium)
Syrjäyttämän ilman tilavuus (V ilma) = ilmapallossa olevan heliumin tilavuus (V helium)
500 kg = (ρ vesi – ρ helium) (V)
Tämä on heliumin vähimmäismäärä, joka tarvitaan painojen nostamiseen maan pinnalla. Jotta ilmapallo leijuisi korkeammalle, heliumin tilavuutta on lisättävä. Heliumin tilavuutta on lisättävä, koska ilman tiheys pienenee korkeuden kasvaessa.
