Työ-kineettisen energian teoreema toteaa, että kokonaistyö eli nettovoiman kappaleeseen tekemä ponnistus on yhtä suuri kuin kappaleen kineettisen energian muutos. Jos nettovoima tekee positiivista työtä (nettovoima on samaan suuntaan kuin siirtymä), kappaleen kineettisen energian määrä kasvaa. Kääntäen, jos nettovoima tekee negatiivista työtä (nettovoima on vastakkaiseen suuntaan kuin siirtymä), kappaleen kineettisen energian määrä pienenee.
W yhteensä = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Jos kappaleeseen vaikuttavat vain konservatiiviset voimat , kuten vapaasti putoavan kappaleen tapauksessa , nettovoima on yhtä suuri kuin konservatiivinen voima. Työ-kineettisen energian teoreeman mukaan kokonaistyö voidaan muuntaa kokonaistyöksi, eli konservatiivisen voiman tekemä työ on yhtä suuri kuin kineettisen energian muutos. Jos konservatiivinen voima tekee positiivista työtä (konservatiivinen voima on samaan suuntaan kuin siirtymä), kappaleen kineettinen energia kasvaa. Käänteisesti, jos konservatiivinen voima tekee negatiivista työtä (konservatiivinen voima on vastakkaiseen suuntaan kuin siirtymä), kappaleen kineettinen energia pienenee.
W c = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
Konservatiivisen voiman kappaleeseen tekemä työ on yhtä suuri kuin kappaleen potentiaalienergian negatiivinen muutos. Jos konservatiivinen voima tekee positiivista työtä, potentiaalienergia pienenee. Käänteisesti, jos konservatiivinen voima tekee negatiivista työtä, potentiaalienergia kasvaa.
W c = – (EP2 – EP1 ) = – mg (h2 – h1 ) = – mgh2 + mgh1 = mgh1 – mgh2
Edellisen katsauksen perusteella näyttää olevan yhteys konservatiivisen voiman kappaleeseen tekemän työn ja kappaleen kineettisen ja potentiaalienergian muutosten välillä. Jos konservatiivinen voima tekee positiivista työtä, kineettinen energia kasvaa, kun taas potentiaalienergia pienenee. Jos konservatiivinen voima tekee negatiivista työtä, kineettinen energia pienenee, kun taas potentiaalienergia kasvaa.
W c = W c
EK 2 – EK 1 = EP 1 – EP 2
EP 1 + EK 1 = EP 2 + EK 2
EM 1 = EM 2
Tietoja:
EM 1 = alkuperäinen mekaaninen energia, EM 2 = lopullinen mekaaninen energia, EP 1 = alkuperäinen potentiaalienergia, EP 2 = lopullinen potentiaalienergia, EK 1 = alkuperäinen liike-energia, EK 2 = lopullinen liike-energia
Ongelmaesimerkki
1. Kappale vapautetaan ilman alkunopeutta tasaisen kaltevan tason huipulta (pisteessä A). Kappale liukuu kaltevan tason pohjaan (pisteessä E).
Jos AB = BC = CD = DE, niin lohkojen nopeuksien suhde pisteissä C, D ja E on…
Keskustelu
Se on tiedossa:
AB + BC + CD + DE = 1
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Kysymys: Lohkojen nopeuksien vertailu kohdissa C, D ja E.
Jawab:
Mekaanisen energian säilymislaki sanoo, että alkuperäinen mekaaninen energia = lopullinen mekaaninen energia.
Alkuperäinen mekaaninen energia = gravitaatiopotentiaalienergia
Lopullinen mekaaninen energia = kineettinen energia
Huipulla kappale on levossa, joten sen liike-energia on nolla ja sen gravitaatiopotentiaalienergia on suurimmillaan. Kun se liikkuu kaltevuuden huipulta pohjalle, sen gravitaatiopotentiaalienergia pienenee ja muuttuu kineettiseksi energiaksi. Kun se saavuttaa kaltevuuden pohjan, sen liike-energia on suurimmillaan ja sen gravitaatiopotentiaalienergia on nolla.
Painovoimapotentiaalienergia pisteessä A = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg
Liike-energia pisteessä A = 1/2 mv² = 1/2 m ( 0² ) = 0
Painovoimapotentiaalienergia pisteessä B = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg
Kineettinen energia pisteessä B = 1/2 mv²
Painovoimapotentiaalienergia pisteessä C = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg
Kineettinen energia pisteessä C = 1/2 mv²
Painovoimapotentiaalienergia pisteessä D = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg
Liike-energia pisteessä D = 1/2 mv²
Painovoimapotentiaalienergia pisteessä E = mgh = mg (0) = 0
Liike-energia pisteessä E = 1/2 mv²
Mekaaninen energia pisteessä A = Painovoimapotentiaalienergia + Liike-energia = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg
Mekaaninen energia pisteessä B = Painovoimapotentiaalienergia + Liike-energia = 3/4 mg + 1/2 mv²
Mekaaninen energia pisteessä C = Painovoimapotentiaalienergia + Liike-energia = 2/4 mg + 1/2 mv²
Mekaaninen energia pisteessä D = Painovoimapotentiaalienergia + Liike-energia = 1/4 mg + 1/2 mv²
Mekaaninen energia pisteessä E = Painovoimapotentiaalienergia + Liike-energia = 0 + 1/2 mv² = 1/2 mv²
Lohkon nopeus C:ssä:
Mekaaninen energia pisteessä C = alkuperäinen mekaaninen energia (vakio mekaaninen energia)
2/4 mg + 1/2 mv² = 4/4 mg
1/2 mV 2 = 4/4 mg – 2/4 mg
1/2 mV² = 2/2 mg
1/2 mV² = 1/2 mg
mv2 = mg
v² = g
v = √g
Lohkon nopeus D:ssä:
Mekaaninen energia pisteessä D = alkuperäinen mekaaninen energia (vakio mekaaninen energia)
1/4 mg + 1/2 mv² = 4/4 mg
1/2 mV² = 4/4 mg – 1/4 mg
1/2 mV 2 = 3/4 mg
1/2 v 2 = 3/4 g
v² = 2 (3/4) g
v² = (6/2) g
v² = (3/2) g
v2 = 1,5 g
v = √1,5 g
Lohkon nopeus kohdassa E:
Mekaaninen energia pisteessä E = alkuperäinen mekaaninen energia (vakio mekaaninen energia)
1/2 mV 2 = mg
1/2 v² = g
v² = 2g
v = √2 g
Lohkojen nopeuden vertailu C:ssä, D:ssä ja E:ssä:
√g : √1,5g : √2g
√ 1 : √1,5 : √2 (kerro kahdella)
√ 2 : √ 3 : √ 4
√ 2 : √ 3 : 2
2. Katso seuraavaa kuvaa!
Kaksi kappaletta laskeutuu pisteestä A reittiä pitkin. Ensimmäisen kappaleen massa on m1 = 5 kg ja toisen kappaleen m2 = 15 kg. Jos painovoimakiihtyvyys on g = 10 ms⁻² , niin kineettisten energian suhde Ek1 : Ek2 pisteessä B on…
A. 1:2
B. 1:3
C. 1:9
2. päivä: 1
E. 3:1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kappaleen 1 massa (m² ) = 5 kg
Kappaleen 2 massa (m² ) = 15 kg
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Pisteiden A ja B välinen etäisyys (h) = 40 m – 30 m = 10 m
Kysymys: Kineettisen energian vertailu 1. ja 2. pisteessä B
Vastaus:
Kappaleen gravitaatiopotentiaalienergia pisteessä A mitataan pisteestä B:
EP1 = m1gh = (5 kg)(10 m/s2 ) ( 10 m) = 500 joulea
EP2 = m2gh = (15 kg)(10 m/s2 ) ( 10 m) = 1500 joulea
Mekaanisen energian säilymislaki sanoo, että alkuperäinen mekaaninen energia = lopullinen mekaaninen energia.
Alkuperäinen mekaaninen energia = gravitaatiopotentiaalienergia
Lopullinen mekaaninen energia = kineettinen energia
EP 1 = EK 1
500 joulea = EK 1
EP 2 = EK 2
1500 joulea = EK 2
ESIMERKKI 1 : ESIMERKKI 2
500: 1500
5: 15
1: 3
Oikea vastaus on B.
3. Katso kuvaa!
Massainen m marmori vierii pisteestä A ilman alkunopeutta tasaista puoliympyrän muotoista tasoa pitkin. Marmorin nopeus pisteessä B on…
A. 10 ms-1
B. 2 √10 ms -1
C. √ 10 m.s -1
D. 2 √5 ms -1
E. √ 5 m.s -1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Pisteiden A ja B välinen korkeusero (h) = 4 m – 2 m = 2 metriä
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Marmorin massa (m3) = m3
Kysymys: Marmorin nopeus pisteessä B
Vastaus:
Alkuperäinen mekaaninen energia = mekaaninen energia pisteessä A = gravitaatiopotentiaalienergia = mgh = (m)(10)(2) = 20m
Lopullinen mekaaninen energia = mekaaninen energia pisteessä B = liike-energia = 1/2 mv²
Mekaanisen energian säilymislaki:
Alkuperäinen mekaaninen energia = lopullinen mekaaninen energia
20 m = 1/2 mV²
20 = 1/2 v²
2(20) = v2
40 = v 2
v = √40
v = √(4)(10)
v = 2√10 m/s
Oikea vastaus on B.
4. Pallo liukuu liukkaalla radalla alla olevan kuvan mukaisesti.
Jos pallon nopeus pisteessä A on 6 ms⁻¹ , pisteessä B on √ 92 ms⁻¹ ja g = 10 ms⁻² , niin pisteen B korkeus radan pohjasta on...
A. 0,5 m
B. 0,5 √ 2 m
Noin 1 metriä
D. √ 2 m
2,8 m itä
Keskustelu
Tiedetään, että:
Pallon nopeus pisteessä A (v A ) = 6 ms -1
Pallon nopeus pisteessä B (v B ) = √ 92 ms -1
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 ms -2
Korkeus A (h A ) = 5,6 metriä
Korkeus B (h B ) = h
Kysymys: Pisteen B korkeus radan pohjasta
Vastaus:
Rata on liukas, joten kitkaa ei ole. Siksi ainoa kappaleeseen vaikuttava voima on painovoima. Painovoima on konservatiivinen voima. Konservatiivisen voiman tekemä työ ei riipu radan muodosta, vaan pikemminkin sijainnin muutoksesta.
Joten voimme laskea pisteen B korkeuden radan pohjasta käyttämällä mekaanisen energian säilymislain kaavaa.
Alkuperäinen mekaaninen energia = Painovoimapotentiaalienergia
Pisteessä A pallo ei vielä liiku, joten sen nopeus on nolla. Pallon nopeus on nolla, joten pallon liike-energia on nolla. Liike-energia: EK = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Mutta pallo on 5,6 metrin korkeudella pohjasta, joten pallolla on gravitaatiopotentiaalienergiaa. Painovoimapotentiaalienergia: EP = mgh = m (10)(5,6) = 56 m
Alkuperäinen mekaaninen energia = Painovoimapotentiaalienergia + Kineettinen energia = 56 m + 0 = 56 m
Lopullinen mekaaninen energia = Painovoimapotentiaalienergia + Kineettinen energia
Pisteessä B pallon korkeus on h. Painovoimapotentiaalienergia: EP = mgh = m (10) h = 10 mh
Piste B on paljon pisteen A alapuolella, joten pallo liikkuu edelleen tietyllä nopeudella. Pallo liikkuu edelleen tietyllä nopeudella, joten pallolla on liike-energiaa. Liike-energia: EK = 1/2 mv 2 = 1/2 m ( √ 92 ) 2 = 1/2 m ( 92 ) = 46 m
Lopullinen mekaaninen energia = Painovoimapotentiaalienergia + Kineettinen energia = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Mekaanisen energian säilymislaki:
Alkuperäinen mekaaninen energia = Lopullinen mekaaninen energia
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 tuntia + 46
56 – 46 = 10 tuntia
10 = 10 tuntia
h = 10/10 = 1 metri
Oikea vastaus on C.
Kysymyksen lähde:
Fysiikan kansalliset tenttikysymykset lukiolle/ammatilliseen lukioon
