Esimerkkikysymyksiä ryhmätietojen varianssista ja keskihajonnasta
Johdanto
Tilastotieteessä varianssi ja keskihajonta ovat kaksi tilastollista mittaa, jotka ovat ratkaisevan tärkeitä datan hajonnan eli leviämisen ymmärtämiseksi keskiarvosta. Varianssi mittaa, kuinka kauas data on hajaantunut keskiarvosta, kun taas keskihajonta on varianssin neliöjuuri, joka antaa mitan, joka on samoissa yksiköissä kuin alkuperäinen data.
Määritelmä
– Varianssi (σ² tai S²): On kunkin data-arvon ja datan keskiarvon välisten erojen neliöiden keskiarvo.
– Keskihajonta (σ tai S): On varianssin neliöjuuri.
Ryhmätietojen varianssin ja keskihajonnan kaava
Ryhmädatan tapauksessa käytämme kunkin luokan datan esiintymistiheyttä. Tässä on kaava:
Vaihdella
\[S^2 = \frac{ \sum f_i \left(x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Keskihajonta
\[S = \sqrt{S^2} \]
Jossa:
– \(f_i \) = kunkin luokan frekvenssi.
– \(x_i \) = kunkin luokan keskipiste.
– \( \bar{x} \) = ryhmädatan keskiarvo.
– \(N \) = datan kokonaismäärä.
Katso myös Soal ja Pembahasan
Oletetaan, että meillä on painotiedot luokkiin ryhmitellylle ihmisryhmälle.
| Painoväli (kg) | Tiheys (f) |
|—————————|—————–|
| 50–54 | 2 |
| 55–59 | 5 |
| 60–64 | 8 |
| 65–69 | 7 |
| 70–74 | 3 |
Ensimmäinen vaihe on määrittää kunkin luokan keskipiste ( \( x_i \) ) ja laskea sitten keskiarvo ( \( \bar{x} \)).
1. Keskipisteen laskeminen ( \( x_i \) )
\[ \text{Keskipiste} = \frac{\text{Alaraja} + \text{Yläraja}}{2} \]
| Painoväli (kg) | Tiheys (f) | Keskipiste ( \( x_i \) ) |
|———————|—————–|—————————|
| 50–54 | 2 | 52 |
| 55–59 | 5 | 57 |
| 60–64 | 8 | 62 |
| 65–69 | 7 | 67 |
| 70–74 | 3 | 72 |
2. Keskiarvon laskeminen ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{N } \]
Tietojen kokonaismäärä \(N \):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 kertaa 52) + (5 kertaa 57) + (8 kertaa 62) + (7 kertaa 67) + (3 kertaa 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Joten keskiarvo (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{1570}{25} = 62.8 \]
3. Varianssin laskeminen ( \(S^2 \) )
Meidän täytyy laskea \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{align }
(x_i – ∫bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align }
\]
Kertomalla taajuudella:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – ∫bar{x})^2: & 2 kertaa 118.84 = 237.68
& 5 kertaa 33.64 = 168.2
& 8 kertaa 0.64 = 5.12
& 7 kertaa 17.64 = 123.48
& 3 kertaa 84.64 = 253.92
\end{align }
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Nyt voimme laskea varianssin (\(S^2 \)):
\[S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \noin 32.85 \]
4. Keskihajonnan ( \( S \) ) laskeminen
Keskihajonta ( \(S \)):
\[S = \sqrt{S^2} \]
\[S = \sqrt{ 32.85 } \noin 5.73 \]
Johtopäätös
Yllä olevista esimerkkitiedoista meillä on:
– Keskimääräisen painon laskeminen: 62.8 kg
– Lasketaan poikkeama: 32.85 kg²
– Keskihajonnan laskeminen: 5.73 kg
Keskihajonnan tulkinta on, että painotietojen keskimääräinen poikkeama keskiarvosta on noin 5.73 kg. Tämä osoittaa tietojen hajaannuksen suhteessa keskiarvoon, mikä voi auttaa päättelemään, kuinka vaihtelevia tiedot ovat.
Varianssin ja keskihajonnan perusteellinen ymmärtäminen on ratkaisevan tärkeää erityisesti tilastotieteen, tutkimuksen ja testauksen parissa työskenteleville, koska he pyrkivät ymmärtämään dataa ryhmien tai jakaumien muodossa. Näiden kahden mittarin laskemisen ja tulkinnan tunteminen voi auttaa tekemään parempaa päätöksentekoa käytettävissä olevan datan perusteella.
