Esimerkki sijoittelun kokoa koskevasta keskustelukysymyksestä
Sijoituksen mittaaminen on tärkeä aihe useilla tieteenaloilla, erityisesti tilastotieteessä, taloustieteessä ja johtamisessa. Sijoituksen mittaaminen kattaa useita mittareita, joita käytetään datan suhteellisen sijainnin kvantifiointiin tietyssä jakaumassa, kuten kvartiilit, desiilit, persentiilit ja niin edelleen. Sijoituksen mittaamisen ja analysoinnin ymmärtäminen on ratkaisevan tärkeää monenlaisessa data-analyysissä, päätöksenteossa ja tutkimustoiminnassa.
Tässä artikkelissa käsittelemme useita esimerkkiongelmia, jotka liittyvät sijoittelumittauksiin ja niiden ratkaisemiseen. Näiden ongelmien tarkoituksena on selventää sijoittelumittausten käsitettä ja soveltamista eri yhteyksissä.
Esimerkkikysymys 1: Kvartiilien laskeminen
Kysymys:
Oletetaan seuraavat tiedot: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 30. Laske Q1 (ensimmäinen kvartiili), Q2 (mediaani/toinen kvartiili) ja Q3 (kolmas kvartiili).
Ratkaisu:
Ensimmäinen vaihe kvartiilien laskemisessa on datan järjestäminen pienimmästä suurimpaan. Tässä tehtävässä data on jo lajiteltu.
– n (datan määrä) = 10
Q1:n laskeminen:
Q1 on arvo, joka sijaitsee kohdassa \(\frac{n + 1}{4}\).
\[
Q1 = ∫₀ + 1(4) = ∫₀ (11) = 2.75
\]
Koska tulokset eivät ole pyöreitä, käytämme interpolointia toisen ja kolmannen datan välillä.
2. data = 7
3. data = 8
\[
Q1 = 7 + 0.75 kertaa (8 – 7) = 7 + 0.75 = 7.75
\]
Q2:n (mediaanin) laskeminen:
Q2 on keskimmäisellä paikalla oleva arvo. Koska n on parillinen luku, Q2 on 5. ja 6. sijalla olevien arvojen keskiarvo.
\[
Q2 = ∫₀ + 14(2) = ∫₀ (27) = 13.5
\]
Q3:n laskeminen:
Q3 on arvo, joka sijaitsee kohdassa \(\frac{3(n + 1)}{4}\).
\[
Q3 = ∫(3 × (10 + 1)}{4} = ∫(33)}{4} = 8.25
\]
Käytämme interpolointia kahdeksannen ja yhdeksännen datan välillä.
8. data = 21
9. data = 23
\[
Q3 = 21 + 0.25 kertaa (23 – 21) = 21 + 0.5 = 21.5
\]
Joten Q1 = 7.75, Q2 = 13.5 ja Q3 = 21.5.
Esimerkkikysymys 2: Persentiilien käyttö
Kysymys:
Oletetaan seuraava aineisto: 15, 18, 20, 24, 30, 32, 35, 40, 42, 45. Määritä 70. persentiilin arvo.
Ratkaisu:
Ensimmäinen vaihe on varmistaa, että tiedot on lajiteltu pienimmästä suurimpaan ja että yllä olevat tiedot on lajiteltu.
Datan lukumäärä, n = 10
70. persentiili tarkoittaa, että etsimme arvoa, joka on 70 %:n sijalla kokonaisdatasta.
\[
P_{70} = \frac{70}{100} kertaa (n + 1) = 0.70 kertaa 11 = 7.7
\]
Koska tulos ei ole kokonaisluku, käytämme interpolointia neljännen ja viidennen datan välillä.
7. data = 35
8. data = 40
\[
P_{70} = 35 + 0.7 kertaa (40 – 35) = 35 + 3.5 = 38.5
\]
Joten tietojoukon 70. persentiilin arvo on 38.5.
Esimerkkikysymys 3: Desiilien laskeminen
Kysymys:
Oletetaan seuraavat testitulostiedot: 55, 63, 67, 72, 75, 78, 80, 82, 86, 90. Laske neljäs desiili (D4).
Ratkaisu:
Ensimmäinen vaihe on varmistaa, että tiedot on lajiteltu pienimmästä suurimpaan. Yllä olevat tiedot on jo lajiteltu.
Datan lukumäärä, n = 10
Neljäs desiili tarkoittaa, että etsimme arvoa, joka on 40 %:n sijalla kokonaisdatasta.
\[
D_4 = ∫(4 kertaa (n + 1)}{10} = ∫(4 kertaa 11}{10) = 4.4
\]
Koska tulos ei ole kokonaisluku, käytämme interpolointia neljännen ja viidennen datan välillä.
4. data = 72
5. data = 75
\[
D_4 = 72 + 0.4 kertaa (75 – 72) = 72 + 1.2 = 73.2
\]
Joten tietojoukon neljäs desiili on 73.2.
Esimerkkikysymys 4: Soveltaminen tulonjaossa
Kysymys:
Taloustutkimuksessa kerättiin kuukausitulotietoja useilta ihmisiltä vuosina 2000, 2200, 2400, 2500, 2700, 3000, 3200, 3500, 3700, 4000, 4200, 4500, 4700, 5000, 5500. Määritä aineiston mediaani ja kvartiilit.
Ratkaisu:
Ensin varmistamme, että tiedot on lajiteltu pienimmästä suurimpaan ja että yllä oleva data on lajiteltu.
Datan lukumäärä, n = 15
Mediaanin (Q2) laskeminen:
Mediaani on data, joka on keskellä.
\[
\text{Mediaanisijainti} = \frac{n + 1}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8
\]
8. data = 3500
Joten mediaani (Q2) on 3500.
Q1:n laskeminen:
Q1 on arvo, joka sijaitsee kohdassa \(\frac{n + 1}{4}\).
\[
Q1 = ∫₀ + 1(4) = ∫₀ (16) = 4
\]
4. data = 2500
Joten kolmas neljännes on 2500.
Q3:n laskeminen:
Q3 on arvo, joka sijaitsee kohdassa \(\frac{3(n + 1)}{4}\).
\[
Q3 = ∫(3 kertaa (15 + 1)}{4} = ∫(3 kertaa 16}{4} = 12
\]
12. data = 4500
Joten kolmas neljännes on 4500.
Joten mediaani (Q2) on 3500, Q1 on 2500 ja Q3 on 4500.
Johtopäätös
Jakauman mittarit ovat erittäin hyödyllisiä työkaluja data-analyysissä, sillä ne auttavat meitä ymmärtämään ja tulkitsemaan datan jakaumaa. Käyttämällä mittareita, kuten kvartiileja, desiilejä ja persentiilejä, voimme saada selkeämmän kuvan analysoitavan datan jakaumasta ja trendeistä. Tässä artikkelissa esitetään useita esimerkkiongelmia ja ratkaisuja, joiden tarkoituksena on auttaa lukijoita ymmärtämään, miten jakauman mittareita lasketaan ja sovelletaan erilaisissa tilanteissa.
