Esimerkkiongelmia matemaattisen rotaation käsittelyssä
Johdanto
Rotaatio on geometrinen muunnos, jota esiintyy usein matematiikassa, erityisesti geometriassa. Rotaatiossa kappaletta pyöritetään tietyn pisteen (kiertokeskipisteen) ympäri tietyn kulman verran joko myötä- tai vastapäivään. Rotaation käsite on keskeinen esimerkiksi tietokonegrafiikassa, fysiikassa ja tekniikassa. Tässä artikkelissa tarkastellaan erilaisia esimerkkejä ja keskusteluja rotaatiosta matematiikassa.
Rotaation ymmärtäminen
Kierto on muunnos, joka siirtää kappaleen jokaista pistettä kiertämällä sitä kiinteän pisteen, jota kutsutaan kiertokeskipisteeksi, ympäri tietyn kulman verran tiettyyn suuntaan. Yleinen merkintätapa kierrolle, jonka kulma on θ ja kiertokeskipiste (a, b), voidaan kirjoittaa muodossa R_(a, b)(θ).
Pisteelle P(x, y), jota on kierretty θ astetta ja jonka kiertokeskipiste on origossa (0, 0), saadaan pisteen P'(x', y') uudet koordinaatit kierron jälkeen seuraavalla kaavalla:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Jatketaanpa esimerkeillä rotaatio-ongelmista ja niiden käsittelystä.
Katso myös Soal ja Pembahasan
Esimerkkikysymys 1
Kysymys: Määritä pisteen A(3, 4) uudet koordinaatit sen jälkeen, kun sitä on käännetty 90 astetta vastapäivään siten, että kiertokeskipiste on origossa (0, 0).
Keskustelu: Käyttämällä kiertokaavaa 90 asteen kulmalla vastapäivään:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Joten A':n uudet koordinaatit kierron jälkeen ovat (-4, 3).
Esimerkkikysymys 2
Kysymys: Pistettä B(2, -1) kierretään 180 astetta myötäpäivään siten, että kiertokeskipiste pysyy origossa (0, 0). Määritä pisteen B uudet koordinaatit kierron jälkeen.
Keskustelu: 180 asteen kierto joko myötä- tai vastapäivään antaa saman tuloksen, eli pisteen koordinaatit muuttuvat muotoon (-x, -y).
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Joten B':n uudet koordinaatit ovat (-2, 1).
Esimerkkikysymys 3
Kysymys: Pistettä C(-3, 5) on kierretty 270 astetta vastapäivään siten, että kiertokeskipiste on origossa (0, 0). Määritä piste C kierron jälkeen.
Keskustelu: 270 asteen kierto vastapäivään vastaa 90 asteen kiertoa myötäpäivään.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Joten C':n uudet koordinaatit kierron jälkeen ovat (5, -3).
Esimerkkikysymys 4
Kysymys: Määritä pisteen D(5, 5) uudet koordinaatit sen jälkeen, kun sitä on käännetty 45 astetta siten, että kiertokeskipiste on origossa (0, 0).
Keskustelu: Käyttämällä kiertokaavaa 45 asteen kulmalla:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Joten D':n uudet koordinaatit kierron jälkeen ovat (0, 5√2).
Rotaatio, jonka keskipiste ei ole origossa
Kiertoja ei aina suoriteta alkuperän ympäri. Oletetaan esimerkiksi, että haluamme kiertää pistettä, jonka kiertokeskipiste on (h, k). Tätä varten meidän on muutettava koordinaatteja seuraavasti:
1. Siirrä piste siten, että (h, k) on origo.
2. Käytä kiertokaavaa.
3. Käännä takaisin alkuperäiseen asentoon.
Esimerkkikysymys 5
Kysymys: Pistettä E(5, 7) on kierretty 90 astetta vastapäivään siten, että kiertokeskipiste on pisteessä (2, 3). Määritä pisteen E uudet koordinaatit kierron jälkeen.
Keskustelu:
1. Siirrä piste E origoon suhteessa pyörimiskeskipisteeseen (2, 3):
– Uusi piste E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Kierrä 90 astetta vastapäivään uuden pisteen ympäri:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Joten koordinaatit kierron jälkeen ovat (-4, 3).
3. Siirto takaisin alkuperäiseen asentoon suhteessa pyörimiskeskipisteeseen (2, 3):
– Päätepiste E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Joten pisteen E uudet koordinaatit kierron jälkeen ovat (-2, 6).
Johtopäätös
Matemaattisten rotaatioiden analysointi ja ymmärtäminen on ratkaisevan tärkeää useissa sovelluksissa. Yllä olevien esimerkkien ja keskustelujen avulla lukijoiden odotetaan ymmärtävän, miten rotaatiokaavat toimivat ja miten niitä voidaan soveltaa eri tilanteisiin. Tämä harjoitus ei ainoastaan vahvista matematiikan perustietoja, vaan se on hyödyllinen myös muilla geometrisiin muunnoksiin liittyvillä aloilla.
