Esimerkkikysymyksiä ympyrän tangentin yhtälöstä
Johdanto
Ympyrän tangentin yhtälö on tärkeä aihe analyyttisessä geometriassa. Ympyrän tangentin yhtälön määrittämisen ymmärtäminen voi auttaa ratkaisemaan monenlaisia matemaattisia ongelmia keski- ja edistyneillä tasoilla. Tässä artikkelissa käsitellään erilaisia esimerkkiongelmia ja menetelmiä ympyrän tangentin yhtälön määrittämiseksi.
Määritelmä ja perusteoria
Koordinaattitasossa oleva ympyrä voidaan yleensä esittää toisen asteen yhtälöllä:
_[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 _]
missä \(a, b)\) on ympyrän keskipiste ja \(r\) on ympyrän säde.
Ympyrän ulkopuolisesta pisteestä piirretty tangentti on suora, joka sivuaa ympyrää täsmälleen yhdessä pisteessä. Jos oletamme, että suoralla on yhtälö:
\[y = mx + c \]
niin ehto, että suora \(y = mx + c\) on ympyrän tangentti, voidaan ilmaista seuraavalla muodossa:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Missä \(m\) on tangentin kaltevuus ja \(c\) on vakio.
Tangenttisuoran yhtälön kaava
Ympyrän tangentin, jonka keskipiste on \(0,0)\) ja säde \(r\), yhtälö ympyrän pisteessä \(x_1, y_1)\) on:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Mutta jos ympyrän keskipiste on pisteessä \(a, b)\), niin yhtälö on:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Esimerkkikysymyksiä ja keskusteluja
Kysymys 1
Ympyrä, jonka keskipiste on \(3, 4)\) ja säde 5 yksikköä. Määritä tangentin yhtälö pisteestä \(6, 8)\).
Keskustelu:
Tässä tehtävässä meille on annettu ympyrä, jonka keskipiste on \(3, 4)\ ja säde 5, ja meidän on löydettävä tangentin yhtälö pisteestä \(6, 8)\). Ratkaisun vaiheet ovat seuraavat:
1. Varmista, että piste \((6, 8)\) ei ole ympyrän sisällä: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Joten piste on ympyrällä, joten sitä voidaan käyttää tangentin löytämiseen.
2. Käyttämällä kaavaa:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3) (x – 3) + (8 – 4) (y – 4) = 5^2
\]
3. Yksinkertaista yhtälöä:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Kehitä:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4v - 25 = 50
\]
Saadun tangentin yhtälö on:
\[
3x + 4v = 50
\]
Kysymys 2
Ympyrä yhtälöllä \[x^2 + y^2 = 16\]. Määritä tangentin yhtälö pisteestä \(4, 0)\).
Keskustelu:
Ympyrä, jonka keskipiste on \((0, 0)\) ja säde 4 yksikköä. Annettu ulkopiste on \((4, 0)\).
1. Käyttämällä kaavaa ympyrälle, jonka keskipiste on \(0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Arvon korvaaminen:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Yksinkertaista:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Eli tangenttiyhtälö, joka meillä on, on:
\[
x = 4
\]
Kysymys 3
Piirrä suora, joka on tangentti ympyrälle \(x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) pisteessä \((-1, 5)\).
Keskustelu:
Ympyrä, jonka keskipiste on \((-2, 3)\) ja säde 3 yksikköä. Sivupiste on \((-1, 5)\).
1. Varmista, että piste sijaitsee ympyrällä:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{ei ympyrällä}
\]
Näin ollen kysymyksen tai pisteen syötössä voi olla virhe. Jos sivupisteeksi annetaan \((-2, 6)\):
2. Yksinkertaista:
\[
(x_1 - a)(xa) + (y_1 - b)(yb) = r^2
\]
Vaihto:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Tulos:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3v-9=9
\]
\[
y = 6
Kävi ilmi, että piste ja henkilö:
y = 6 on ehdottomasti pätevä.
Johtopäätös, tarkista yhdistelmä, muista, 2 tapaa laskea.
validi/epätosi..Että Plus yhteenveto gar.td 2; muodon validointi (ruudukolla).plis kehä kaikki peittopainikkeet.
Siinä kaikki, kiitos ja toivottavasti tästä on hyötyä ystävilleni.
Lisäksi opi ymmärryksen vahvistamisen käsite.
Ne, jotka eivät aiemmin ymmärtäneet, saavat Jumalan tahdosta yksityiskohtaisempia kriittisiä kirurgisia vaiheita.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{estää}-fu.
"
