Esimerkki vaihtovirtayhtälöiden käsittelyyn liittyvistä ongelmista
Johdanto
Vaihtovirta (AC) on sähkövirran tyyppi, joka voi muuttaa suuntaa ajoittain. Toisin kuin tasavirta (DC), joka virtaa yhteen suuntaan, vaihtovirralla on sinimuotoinen aaltomuoto ja se on ratkaisevan tärkeä useissa jokapäiväisissä sovelluksissa kotitalouksista teollisuuteen. Vaihtovirtayhtälöiden käsittelyn tunteminen on välttämätöntä useiden elektroniikan ja sähkön tärkeiden näkökohtien ymmärtämiseksi. Tässä artikkelissa käsitellään useita esimerkkiongelmia ja ratkaisuja vaihtovirtayhtälöiden käsitteen selventämiseksi.
Vaihtovirran yleinen yhtälö
Vaihtovirta ilmaistaan yleensä sinimuotoisella yhtälöllä:
\[i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi) \]
Jossa:
– \(i(t) \) on hetkellinen virta ajan funktiona.
– \(I_m \) on virran huippuarvo (maksimiarvo).
– \( \omega \) on kulmanopeus, jonka yksikkönä on radiaania sekunnissa.
– t on aika.
– \( \phi \) on virran alkuvaihe.
Esimerkkikysymys 1: Virran määrittäminen tiettynä ajankohtana
Kysymys:
Annetaan vaihtovirran yhtälö i(t) = 10 ∈ sin(100 ∈ t + ∈ 3)). Määritä virran suuruus ajanhetkellä t = 0.01 sekuntia.
Keskustelu:
Se on tiedossa:
\[ I_m = 10 \, \text{A} \]
\[ \omega = 100\pi \, \text{rad/s} \]
\[ \phi = \pi/3 \]
\[t = 0.01 \, \text{sekuntia} \]
Korvaa nämä arvot nykyiseen yhtälöön:
\[i(0.01) = 10 \sin(100\pi kertaa 0.01 + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(\pi + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(4\pi/3) \]
Huomautti, että:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sin(\pi/3) \]
\[ \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 \]
Niin:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2 \]
\[i(0.01) = 10 kertaa -\sqrt{3}/2 \]
\[i(0.01) = -5\neliömetriä{3} \]
\[i(0.01) \noin -8.66 \, \text{A} \]
Virran suuruus ajanhetkellä \(t = 0.01 \) sekuntia on siis noin \(-8.66 \, \text{A} \).
Esimerkkikysymys 2: Kulmanopeuden ja taajuuden määrittäminen
Kysymys:
Vaihtovirralle, joka ilmaistaan yhtälöllä \(i(t) = 5 \cos(200\pi t – \pi/4) \), määritä virran kulmanopeus (ω) ja taajuus (f).
Keskustelu:
Annettu:
\[i(t) = 5 \cos(200\pi t – \pi/4) \]
Kulmanopeus (\( \omega \)) on kosinifunktion t:n kerroin, joka on \(200\pi \).
\[ \omega = 200\pi \, \text{rad/s} \]
Taajuus (f) voidaan laskea käyttämällä seuraavaa suhdetta:
\[ \omega = 2 \pi f \]
\[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]
Sijoita kulmanopeuden arvo:
\[f = \frac{200\pi}{2\pi} \]
\[ f = 100 \, \text{Hz} \]
Virran kulmanopeus on siis \(200\pi \, \text{rad/s} \) ja virran taajuus on \(100 \, \text{Hz} \).
Esimerkkikysymys 3: RMS-arvon määrittäminen
Kysymys:
Vaihtovirralle, jonka suuruus on i(t) = 7 \sin(50t), määritä RMS-arvo (root mean square).
Keskustelu:
Se on tiedossa:
\[i(t) = 7 \sin(50t) \]
Sinimuotoisen virran RMS-arvo on:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
jossa \(I_m \) on huippuvirran arvo.
Virran huippuarvo \(I_m \) on 7 A.
Niin:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7 \qrt{2}}{2} \]
\[ I_{\text{RMS}} \noin 4.95 \, \text{A} \]
Joten kyseisen virran RMS-arvo on noin 4.95 A.
Esimerkkikysymys 4: Keskimääräisen tehon laskeminen
Kysymys:
Sähköpiiri koostuu 10 ohmin vastuksesta ja siinä kulkee vaihtovirta \(i(t) = 6 \sin(120\pi t) \). Laske vastuksen keskimääräinen kuluttama teho.
Keskustelu:
Nykytilanne huomioon ottaen:
\[i(t) = 6 \sin(120\pi t) \]
Huippuvirran arvo (\(I_m \)) on 6 A.
Virran RMS-arvo on:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = 3\sqrt{2} \]
Vastus (\(R \)) = 10 ohmia.
Vastuksen keskimääräinen teho (\(P \)) voidaan laskea seuraavasti:
\[ P = I_{\text{RMS}}^2 \time R \]
\[P = (3\sqrt{2})^2 \x 10 \]
\[ P = 18 kertaa 10 \]
\[ P = 180 \, \text{W} \]
Joten vastuksen keskimääräinen tehonkulutus on 180 W.
Sulkeminen
Tässä artikkelissa olemme käsitelleet useita esimerkkiongelmia ja keskustelleet vaihtovirran yhtälöistä. Virran aikayksikköä kohti, kulmanopeuden, taajuuden, RMS-arvon ja keskimääräisen tehon laskeminen on ratkaisevan tärkeää vaihtovirran ja sen sovellusten ymmärtämiseksi jokapäiväisessä elämässä. Näiden käsitteiden ymmärtäminen auttaa meitä suunnittelemaan ja analysoimaan erilaisia vaihtovirtaa käyttäviä sähköpiirejä.
