Esimerkkikysymyksiä ja keskustelua vektorien vähennyslaskusta
Johdanto
Matematiikassa ja fysiikassa vektorit ovat peruskäsite, jota käytetään selittämään monia luonnon ja tekniikan ilmiöitä. Vektori on suure, jolla on sekä suuruus että suunta. Joitakin tärkeitä esimerkkejä vektoreista ovat siirtymä, nopeus, kiihtyvyys ja voima. Tässä artikkelissa käsittelemme vektorien vähennyslaskua, vaikka tätä aihetta usein korostetaan vektorien yhdistämisen yhteydessä.
Vektorien vähennyslasku on vektorianalyysin kannalta ratkaisevan tärkeä perusoperaatio. Perehdytään tähän käsitteeseen tarkemmin tarkastelemalla joitakin vektorien vähennyslaskuun liittyviä esimerkkiongelmia ja keskusteluja.
Vektorivähennyslasku
Vektorin vähennyslasku {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} määritellään operaationa, jossa vektori {\displaystyle \mathbf{A}} ja vektori {\displaystyle -\mathbf{B}} summataan, missä {\displaystyle -\mathbf{B}} on vektori, jonka suuruus on sama kuin {\displaystyle \mathbf{B}}, mutta suunta on vastakkainen. Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa muodossa:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Katso myös Soal ja Pembahasan
Kysymys 1: Kaksiulotteisten vektorien vähentäminen
Oletetaan, että karteesisissa koordinaateissa on kaksi vektoria:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} ja {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Laske {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Keskustelu:
Ensimmäinen vaihe on löytää :n negatiivinen vektori, nimittäin:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Lisää seuraavaksi vektori {\displaystyle \mathbf{A}} ja {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Suorita vektorien yhteenlasku laskemalla yhteen sekä x- että y-komponentit:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Joten vektoreiden vähentämisen tulos {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} on vektori (3, 1).
Kysymys 2: Kolmiulotteisten vektorien vähentäminen
Annetaan kaksi vektoria kolmiulotteisissa koordinaateissa:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} ja {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Laske {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
Keskustelu:
Ensimmäinen vaihe on löytää :n negatiivinen vektori :
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Lisää seuraavaksi vektori {\displaystyle \mathbf{P}} ja {\displaystyle -\mathbf{Q}}:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Suorita vektorien yhteenlasku laskemalla yhteen jokainen x-, y- ja z-komponentti:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Joten vektoreiden vähentämisen tulos {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} on vektori (5, -9, -1).
Kysymys 3: Vektorien vähennyslasku kompleksitasossa
Oletetaan, että kompleksiluvut edustavat kahta vektoria:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} ja {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Laske {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Keskustelu:
Ensimmäinen vaihe on löytää :n negatiivinen vektori :
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Lisää seuraavaksi vektori {\displaystyle \mathbf{M}} ja {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Suorita vektorien yhteenlasku laskemalla yhteen reaali- ja imaginäärikomponentit:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Joten vektoreiden vähentämisen tulos {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} on kompleksiluku 2 + 2i.
Kysymys 4: Vektorien vähennyslasku napakoordinaatistossa
Oletetaan, että polaarikoordinaateissa on kaksi vektoria:
{\ displaystyle \mathbf{U}} on suuruudeltaan 5 ja kulmassa 30°,
ja {\displaystyle \mathbf{V}} sen suuruus on 3 ja kulma 150°.
Laske {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.
Keskustelu:
Ensimmäinen vaihe on muuntaa vektorit {\displaystyle \mathbf{U}} ja {\displaystyle \mathbf{V}} karteesisiksi koordinaateiksi.
{\displaystyle \mathbf{U}}:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Joten karteesisessa aakkosjärjestyksessä {\displaystyle \mathbf{U}} on (4.33, 2.5).
{\displaystyle \mathbf{V}}:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Joten karteesisessa aakkosjärjestyksessä {\displaystyle \mathbf{V}} on (-2.598, 1.5).
Seuraavaksi lasketaan vektorin vähennyslasku karteesisessa järjestelmässä:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Eli lisäämällä vektorin negatiivinen osa:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Joten vektorin {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} vähentämisen tulos karteesisissa koordinaateissa on (6.928, 1).
Johtopäätös
Vektorien vähennyslasku on olennainen matemaattinen operaatio monilla vektorianalyysiä hyödyntävillä aloilla. Olipa kyseessä kaksiulotteinen, kolmiulotteinen, kompleksinen tai polaarikoordinaattijärjestelmä, perusperiaate pysyy samana: yhden vektorin lisääminen toisen negatiiviseen lukuun. Yllä olevat esimerkit havainnollistavat erilaisia tapoja soveltaa tätä operaatiota eri yhteyksissä, mikä auttaa meitä ymmärtämään käsitettä syvällisemmin ja käytännöllisemmin.
