Esimerkkikysymyksiä ja keskustelua integraalien soveltamisesta tasaisen tason pinta-alan laskemisessa
Matematiikan opetuksessa integraaleja käytetään usein integraalien laskennassa. Yksi integraalien tunnetuimmista sovelluksista on käyrän tai tason pinta-alan laskeminen. Tässä artikkelissa käsitellään useita esimerkkiongelmia ja pohditaan integraalien soveltamista tason pinta-alan laskemiseen.
Johdatus teoriaan
Ennen kuin siirrymme esimerkkiongelmaan, tarkastellaan käyrän alla olevan pinta-alan laskemisen perusperiaatetta integraalien avulla. Jos funktio f(x) on jatkuva välillä [a, b], niin käyrän y = f(x) alla oleva pinta-ala pisteestä x = a pisteeseen x = b on:
[L = ∫_{a}^{b} f(x) = dx]
Geometrisesti tämä tarkoittaa, että summaamme hyvin ohuen suorakulmion pinta-alan kohdasta x = a kohtaan x = b.
Esimerkkikysymys 1
Kysymys
Laske käyrän y = x² alla oleva pinta-ala välillä [1, 3].
Keskustelu
Pinta-alan laskemiseksi käytämme integraalia:
\[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Aloitamme etsimällä funktion x^2 antiderivaatta. Funktion x^2 antiderivaatta on x^2. Tällöin integraalista tulee:
\[L = \vasen[ \frac{x^3}{3} \oikea]_{1}^{3} \]
Muista, että meidän on laskettava antiderivaatta integraalin rajoilla:
\[L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{26}{3} \]
Joten käyrän y = x² alle jäävä pinta-ala pisteestä x = 1 pisteeseen x = 3 on:
\[ \frac{26}{3} \, \text{pinta-alayksikkö} \]
Esimerkkikysymys 2
Kysymys
Määritä käyrän y = x³ ja suorien x = 1 ja x = 2 rajaaman alueen pinta-ala.
Keskustelu
Pinta-alan laskemiseksi käytämme integraalia:
\[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Kuten tavallista, aloitamme etsimällä funktion \(x^3 \) antiderivaatta. Funktion \(x^3 \) antiderivaatta on \( \frac{x^4}{4} \). Integraalista tulee:
\[L = \vasen[ \frac{x^4}{4} \oikea]_{1}^{2} \]
Arvioi integraalin rajat:
\[L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{15}{4} \]
Joten käyrän y = x³ alle jäävä pinta-ala pisteestä x = 1 pisteeseen x = 2 on:
\[ \frac{15}{4} \, \text{pinta-alayksikkö} \]
Esimerkkikysymys 3
Kysymys
Määritä käyrien y = x² + 1 ja y = 2x + 2 rajaaman alueen pinta-ala välillä x = 0 - x = 1.
Keskustelu
Ensin meidän on löydettävä leikkauspisteet integroinnin raja-arvojen määrittämiseksi. Ratkaisu yhtälölle \(x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Käyttämällä toisen asteen kaavaa:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm\sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Ylä- ja alarajoille 0:n ja 1:n välillä emme kuitenkaan tarvitse käyttää kvadraattista ratkaisua, vaan tavallista integraalirajaa 0:sta 1:een. Seuraavaksi lasketaan ylä-y-käyrän pinta-ala vähennettynä ala-y-käyrällä näiden rajojen mukaisesti:
\[L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Funktion yksinkertaistaminen:
\[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Seuraavaksi löydämme antiderivaatan:
Funktion \( (-x^2) \) antiderivaatta on \( -\frac{x^3}{3} \),
Funktion \( (2x) \) antiderivaatta on \( x^2 \),
Funktion \( (1) \) antiderivaatta on \( x \).
Jotta,
\[L = \vasen. \vasen(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \oikea) \oikea|_0^1 \]
Seuraava arviointi:
\[L = \left[ - \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ - \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[L = \left[ - \frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{5}{3} \]
Joten alueen, jota rajaavat käyrät y = x² + 1 ja y = 2x + 2 välillä [0, 1], pinta-ala on:
\[ \frac{5}{3} \, \text{pinta-alayksikkö} \]
-
Yllä olevista esimerkeistä näemme, kuinka integraaleja voidaan käyttää käyrän alla olevan pinta-alan tai kahden käyrän välisen pinta-alan laskemiseen. Integraalien ja antiderivaattalaskujen peruskäsitteiden oikean ymmärtämisen myötä näiden pinta-alojen laskemisesta tulee erittäin systemaattista ja tehokasta. Toivottavasti tämä artikkeli on lisännyt ymmärrystämme integraalien soveltamisesta todellisessa maailmassa, erityisesti tasopintojen pinta-alan mittaamisen alalla.
