Esimerkkikysymyksiä suoran johtimen ympärillä olevista magneettikentistä
Johdanto
Magneettikentät ovat aina olleet kiehtova aihe fysiikassa, erityisesti keskusteltaessa siitä, miten ne muodostuvat ja miten ne vuorovaikuttavat sähkövirran kanssa. Yksi tärkeä magneettikenttien näkökohta on suoran, virtaa kuljettavan johtimen ympärillä oleva magneettikenttä. Tässä artikkelissa käsittelemme suoran johtimen ympärillä olevan magneettikentän peruskäsitettä ja tarjoamme useita esimerkkiongelmia ja ratkaisuja ymmärryksemme syventämiseksi.
Suorien johtimien ympärillä olevien magneettikenttien perusteoria
Ennen kuin syvennymme esimerkkiongelmaan, on tärkeää ensin ymmärtää suoran johtimen ympärillä olevien magneettikenttien perusperiaate. Biot-Savartin lain ja Ampèren lain mukaan sähkövirtaa kuljettavan suoran johtimen ympärillä oleva magneettikenttä voidaan ilmaista yhtälöllä:
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \]
Jossa,
– \(B \) on magneettikenttä (Tesla),
– \( \mu_0 \) on tyhjiön permeabiliteetti \(4\pi \times 10^{-7} T \cdot m/A) \),
– \(I \) on johtimessa kulkeva virta (ampeerina), ja
– \(r \) on etäisyys johtimesta pisteeseen, jossa magneettikenttä mitataan (metreinä).
Tämä magneettikenttä muodostaa samankeskisiä ympyröitä johtimen ympärille oikean käden säännön mukaisesti. Jos peukalo osoittaa virran suunnan, niin johtoa pitävät sormet osoittavat magneettikentän suunnan.
Katso myös Soal ja Pembahasan
Kysymys 1:
Pitkässä suorassa johdossa kulkee 10 A:n sähkövirta. Laske magneettikentän voimakkuus 0,2 metrin etäisyydellä johdosta.
Keskustelu:
Käytämme yhtälöä suoran johtimen ympärillä olevan magneettikentän kuvaamiseen:
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \]
Se on tiedossa:
\[ I = 10 \, A \]
\[ r = 0,2 \, m \]
\[ \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A \]
Korvaa nämä arvot yhtälöön:
\[B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{2 \pi \times 0,2} \]
\[B = \frac{4 \pi \times 10^{-6}}{2 \pi \times 0,2} \]
\[B = \frac{4 \times 10^{-6}}{0,2} \]
\[ B = 20 \x 10^{-6} \]
\[ B = 2 kertaa 10^{-5} \, T \]
\[ B = 20 \, \mu T \]
Joten magneettikentän suuruus 0,2 metrin etäisyydellä langasta on 20 μT (mikroTesla).
Kysymys 2:
Kahdessa pitkässä suorassa johtimessa kulkee sama 5 A:n virta, mutta vastakkaisiin suuntiin, ja niiden välinen etäisyys on 0,1 metriä. Laske magneettikentän suuruus johtimien puolivälissä olevassa pisteessä.
Keskustelu:
Kahden johtimen puolivälissä etäisyys kummastakin johtimesta on \( r = 0,05 \, m \). Laskemme ensin toisen johtimen aiheuttaman magneettikentän.
Jokaiselle langalle:
\[ B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \]
Se on tiedossa:
\[ I = 5 \, A \]
\[ r = 0,05 \, m \]
\[ \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A \]
Korvaa nämä arvot yhtälöön:
\[B_1 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{2 \pi \times 0,05} \]
\[B_1 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{\pi \times 0,1} \]
\[B_1 = \frac{20 \pi \times 10^{-7}}{\pi \times 0,1} \]
\[B_1 = \frac{20 \times 10^{-7}}{0,1} \]
\[B_1 = 200 kertaa 10^{-7} \]
\[B_1 = 2 kertaa 10^{-5} \, T \]
Koska kahdessa johdossa kulkee virtoja vastakkaisiin suuntiin, magneettikentät kumoavat toisensa tuossa pisteessä. Kokonaismagneettikenttä tuossa pisteessä on nolla.
Kysymys 3:
Pitkässä suorassa johdossa A kulkee 12 A:n virta ja se on sijoitettu yhdensuuntaisesti pitkän suoran johdon B kanssa, jota pitkin kulkee 8 A:n virta samaan suuntaan. Laske kokonaismagneettikenttä pisteessä, joka on 0,15 metrin päässä johdosta A ja 0,1 metrin päässä johdosta B.
Keskustelu:
Laske kunkin johtimen magneettikenttä kyseisessä pisteessä.
Lanka A:lle:
\[ B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 \pi r_A} \]
Se on tiedossa:
\[ I_A = 12 \, A \]
\[ r_A = 0,15 \, m \]
Arvon korvaaminen:
\[B_A = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 12}{2 \pi \times 0,15} \]
\[B_A = \frac{48 \pi \times 10^{-7}}{\pi \times 0,3} \]
\[B_A = \frac{48 \times 10^{-7}}{0,3} \]
\[ B_A = 160 \x 10^{-7} \]
\[B_A = 1,6 kertaa 10^{-5} \, T \]
Johdolle B:
\[ B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2 \pi r_B} \]
Se on tiedossa:
\[ I_B = 8 \, A \]
\[ r_B = 0,1 \, m \]
Arvon korvaaminen:
\[B_B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 8}{2 \pi \times 0,1} \]
\[B_B = \frac{32 \pi \times 10^{-7}}{\pi \times 0,2} \]
\[B_B = \frac{32 \times 10^{-7}}{0,2} \]
\[ B_B = 160 \x 10^{-7} \]
\[ B_B = 1,6 kertaa 10^{-5} \, T \]
Koska virta kulkee molemmissa johtimissa samaan suuntaan ja pisteet ovat eri etäisyyksillä johtimista, syntyvä magneettikenttä on samaan suuntaan. Näin ollen kokonaismagneettikenttä on näiden kahden magneettikentän summa.
\[ B_{yhteensä} = B_A + B_B \]
\[ B_{total} = 1,6 kertaa 10^{-5} + 1,6 kertaa 10^{-5} \]
\[ B_{total} = 3,2 \times 10^{-5} \, T \]
Joten kokonaismagneettikenttä tuossa pisteessä on 32 μT (mikroTeslaa).
Johtopäätös
Magneettikentän käsitteen ymmärtäminen suoran johtimen ympärillä on ratkaisevan tärkeää fysiikalle, koska sillä on monia käytännön sovelluksia. Käyttämällä esimerkkejä ja keskusteluja, kuten yllä oleva, voimme vahvistaa peruskäsitettä ja syventää ymmärrystämme siitä, miten magneettikentät toimivat virtaa kuljettavan johtimen ympärillä. Muista aina, että analyyttinen säännönmukaisuus ja peruslakien ymmärtäminen ovat ratkaisevan tärkeitä erilaisten fysiikan ongelmien ratkaisemisessa.
