Esimerkkikysymyksiä ja keskustelua yksittäisistä datakvartiileista
Tilastoissa kvartiilit ovat työkalu, jota käytetään jakamaan tietojoukko neljään osaan eli kvartiiliin, joista jokainen sisältää saman määrän tietoa. Kvartiileja käytetään usein ymmärtämään tiedon jakautumista ja vertailemaan arvoja suuremmassa tietojoukossa. Tässä artikkelissa käsittelemme kvartiilien laskemista yksittäiselle tietojoukolle useiden esimerkkien avulla. Näemme, miten ensimmäinen kvartiili (Q1), toinen kvartiili (Q2, joka tunnetaan myös mediaanina) ja kolmas kvartiili (Q3) lasketaan ja tulkitaan.
Kvartiilin määritelmä
Ennen esimerkkitehtäviin siirtymistä on tärkeää ymmärtää tietojoukon kolmen kvartiilin määritelmät:
1. Ensimmäinen kvartiili (Q1): Q1:n alapuolella olevat datasijainnit kattavat 25 % koko datajoukosta.
2. Toinen kvartiili (Q2 tai mediaani): Q2:n alapuolella olevat datasijainnit kattavat 50 % koko datajoukosta.
3. Kolmas kvartiili (Q3): Q3:n alapuolella olevat datasijainnit kattavat 75 % koko datajoukosta.
Kvartiilien laskemisen vaiheet
Kvartiilien laskemiseksi noudatettavat vaiheet ovat seuraavat:
1. Lajittele tiedot: Varmista, että tiedot on lajiteltu pienimmästä suurimpaan arvoon.
2. Kvartiilisijainnin määrittäminen: Käytä kaavaa kvartiilisijainnin määrittämiseen.
– Q1-positio = (N+1) / 4
– Q2-positio = (N+1) / 2
– Q3-positio = 3(N+1) / 4
Jossa N on datan kokonaismäärä.
3. Kvartiiliarvojen ottaminen: Laskettujen sijaintien perusteella ota tai interpoloi kvartiiliarvot.
Katso myös Soal ja Pembahasan
Esimerkkikysymys 1
Oletetaan, että yksittäiset tiedot ovat seuraavat: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 29.
Vaihe 1: Tietojen lajittelu
Tiedot on lajiteltu seuraavasti: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 29
Vaihe 2: Määritä kvartiilien sijainti
Datan lukumäärä (N) on 10.
– Asema Q1 = (10+1) / 4 = 11 / 4 = 2.75
– Asema Q2 = (10+1) / 2 = 11 / 2 = 5.5
– Asema Q3 = 3(10+1) / 4 = 33 / 4 = 8.25
Vaihe 3: Kvartiiliarvojen ottaminen
– Q1: Sijainti 2.75 osoittaa, että Q1 sijaitsee sekvenssin 2. ja 3. datan välissä. 2. data on 7 ja 3. data on 8. Näin ollen Q1 = 7 + 0.75(8-7) = 7.75.
– Q2 (mediaani): Sijainti 5.5 osoittaa, että Q2 sijaitsee 5. ja 6. datan välissä. 5. data on 13 ja 6. data on 14. Joten Q2 = 13 + 0.5(14-13) = 13.5.
– Q3: Kohta 8.25 osoittaa, että Q3 sijaitsee 8. ja 9. datan välissä. 8. data on 21 ja 9. data on 23. Joten Q3 = 21 + 0.25(23-21) = 21.5.
Esimerkkikysymys 2
Seuraavat tiedot annetaan: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.
Vaihe 1: Tietojen lajittelu
Tiedot on lajiteltu seuraavasti: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
Vaihe 2: Määritä kvartiilien sijainti
Datan lukumäärä (N) on 11.
– Asema Q1 = (11+1) / 4 = 12 / 4 = 3
– Asema Q2 = (11+1) / 2 = 12 / 2 = 6
– Asema Q3 = 3(11+1) / 4 = 36 / 4 = 9
Vaihe 3: Kvartiiliarvojen ottaminen
– Q1: Kohta 3 tarkoittaa, että Q1 on yhdeksäs data. Joten Q1 = 6.
– Q2 (mediaani): Sijainti 6 tarkoittaa, että Q2 on kuudes data. Joten Q2 = 12.
– Q3: Kohta 9 tarkoittaa, että Q3 on yhdeksäs data. Joten Q3 = 18.
Kvartiilien tulkinta
Kun Q1:n, Q2:n ja Q3:n arvot on saatu, voimme käyttää niitä datan analysointiin. Esimerkiksi:
1. Kvartiiliväli (IQR): Tämä on Q3:n ja Q1:n erotus. IQR = Q3 – Q1. IQR:ää käytetään datajakauman tunnistamiseen ja poikkeavien arvojen havaitsemiseen.
2. Poikkeavat arvot: Muusta datasta kaukana olevat tiedot voidaan tunnistaa käyttämällä ala- ja ylärajoja.
– Alaraja = Q1 – 1.5 IQR
– Yläraja = Q3 + 1.5 IQR
Näiden rajojen ulkopuolelle jäävää dataa pidetään poikkeavana.
IQR:n soveltaminen esimerkkikysymyksessä 1
– IQR = Q3 – Q1 = 21.5 – 7.75 = 13.75
– Alaraja = 7.75 – 1.5 (13.75) = 7.75 – 20.625 = -12.875
– Yläraja = 21.5 + 1.5(13.75) = 21.5 + 20.625 = 42.125
Esimerkkikysymyksessä 1 dataväli -12.875–42.125 on normaalijakauma ilman poikkeavia arvoja.
IQR:n soveltaminen esimerkkikysymyksessä 2
– IQR = Q3 – Q1 = 18 – 6 = 12
– Alaraja = 6 – 1.5 (12) = 6 – 18 = -12
– Yläraja = 18 + 1.5(12) = 18 + 18 = 36
Esimerkkikysymyksessä 2 dataväli -12–36 on normaalijakauma ilman poikkeavia arvoja.
Johtopäätös
Kvartiilien ymmärtäminen ja laskeminen auttaa tunnistamaan datajakauman ja analysoimaan datajakauman eri näkökohtia. Tässä artikkelissa tutkimme yksittäisen datajoukon kvartiilien laskemiseen liittyviä vaiheita useiden esimerkkiongelmien ja niiden käsittelyn avulla. Näihin vaiheisiin kuuluvat datan lajittelu, kvartiilien sijainnin määrittäminen ja sopivien kvartiiliarvojen laskeminen. Oikein sovellettuna kvartiileista tulee tärkeä analyyttinen työkalu tilastotieteessä, jotta datajoukosta saadaan syvällisempi käsitys.
