Esimerkki keskustelukysymyksestä määrityskertoimesta
Määrityskerroin (R²) on tärkeä parametri regressioanalyysissä, ja se osoittaa, kuinka hyvin regressiomalli selittää datan todellisen vaihtelun. Tässä artikkelissa selitämme määrityskertoimen käsitteen yksityiskohtaisen esimerkin ja keskustelun avulla.
Määrityskertoimen peruskäsite
Määrityskerroin eli \(R^2 \) mitataan asteikolla 0-1, jossa:
– \( R^2 = 0 \) osoittaa, että regressiomalli ei pysty selittämään datan vaihtelua lainkaan.
– \( R^2 = 1 \) osoittaa, että regressiomalli pystyy selittämään datan kaiken vaihtelun täydellisesti.
Määrityskertoimen laskemisen peruskaava on:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Di mana:
– SSR (Sum of Squared Residuals) on mallin ennustamien arvojen ja todellisten arvojen välisten erojen neliöiden summa.
– SST (neliöiden kokonaissumma) on todellisen arvon ja todellisten arvojen keskiarvon välisten erojen neliöiden summa.
Ongelmaesimerkki
Tarkastellaan esimerkkiongelmaa ymmärtääksemme määrityskertoimen laskemista syvällisemmin.
Ongelmaesimerkki:
Oletetaan, että meillä on tiedot 10 opiskelijan opiskelutuntien määrästä (X) ja koetuloksista (Y):
| Opiskelijat | Opiskelutunnit (X) | Tenttipisteet (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Luomme yksinkertaisen lineaarisen regressiomallin, jossa koetulokset (Y) ennustetaan opiskelutuntien (X) perusteella.
Keskustelu
1. Yksinkertaisen lineaarisen regressiomallin rakentaminen
Yksinkertainen lineaarinen regressiomalli on muotoa:
\[ Y = a + bX \]
Di mana:
– \(Y \) on ennustettu testitulos.
– \(X \) on opiskelutuntien määrä.
– \(a \) on leikkauspiste (Y-akselin leikkauspiste, kun X = 0).
– \(b \) on kulmakerroin (regressiosuoran kaltevuus).
Parametrien \(a \) ja \(b \) laskemiseksi käytämme seuraavaa kaavaa:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Missä \(n \) on datan lukumäärä (tässä tapauksessa n = 10).
Taulukosta voimme laskea:
– \(\summa{X} = 36\)
– \(\summa{Y} = 704\)
– \(\summa{X^2} = 140\)
– \(\summa{Y^2} = 50428\)
– \(\summa{XY} = 2576\)
Lasketaan ensin b:n arvo:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Sitten laskemme a:n:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Joten saamamme lineaarinen regressiomalli on:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Laske ennustettu arvo (Y')
Seuraavaksi laskemme ennustetun arvon \(Y' \) kullekin \(X \):lle:
| Opiskelijat | Opiskelutunnit (X) | Tenttipisteet (Y) | Ennustettu pisteet (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \(56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \(56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \(56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \(56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \(56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \(56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \(56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \(56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \(56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \(56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR:n ja SST:n laskeminen
Seuraavaksi laskemme SSR:n ja SST:n, jolloin saadaan \(R^2 \).
SSR:
\[SSR = \summa{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Di mana:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Määrityskertoimen (R^2) laskeminen:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Johtopäätös
Yllä olevasta laskelmasta saimme määrityskertoimen (R2 = 0.59). Tämä osoittaa, että luomamme lineaarinen regressiomalli voi selittää noin 59 % koepisteiden vaihtelusta opiskelutuntien perusteella. Loput 41 % vaihtelusta voivat johtua muista tekijöistä, joita ei ole sisällytetty malliin.
Ymmärtämällä yllä olevat vaiheet ja laskelmat voimme nähdä määrityskertoimen merkityksen arvioitaessa sitä, kuinka hyvin rakentamamme regressiomalli selittää datan todellista vaihtelua. Se on erittäin hyödyllinen työkalu tilastollisessa analyysissä ja datamallinnuksessa.
