Esimerkkikysymyksiä ja keskustelua todennäköisyysjakaumasta
Todennäköisyysjakauma on yksi tilastotieteen ja todennäköisyyden peruskäsitteistä. Sitä käytetään ymmärtämään satunnaisluvun eri arvojen esiintymisen todennäköisyyttä. Todennäköisyysjakaumat voivat olla monenlaisia analysoitavan datan luonteesta riippuen. Kaksi yleisintä todennäköisyysjakauman tyyppiä ovat diskreetti ja jatkuva. Tässä artikkelissa tarkastelemme useita esimerkkiongelmia ja keskustelemme todennäköisyysjakaumista ymmärtääksemme tätä aihetta paremmin.
Diskreetti jakauma
Diskreetti jakauma on jakauma, joka laskee diskreetin satunnaismuuttujan eli muuttujan, joka voi saada vain tiettyjä arvoja, todennäköisyyden. Tunnettuja esimerkkejä diskreeteistä jakaumista ovat binomijakauma ja Poisson-jakauma.
Esimerkki 1: Binomijakauma
Binomijakauma kuvaa onnistumisten lukumäärää Bernoulli-kokeiden sarjassa. Jokaisella Bernoulli-kokeella on kaksi lopputulosta: onnistuminen tai epäonnistuminen. Onnistumisen todennäköisyys pysyy vakiona koko kokeen ajan.
Kysymys:
Lääkeyritys testaa uutta lääkettä 10 potilaalla. Todennäköisyys sille, että lääke toimii yhdellä potilaalla, on 0.7. Laske todennäköisyys sille, että lääke toimii täsmälleen 7:llä 10 potilaasta.
Keskustelu:
Satunnaismuuttuja X noudattaa binomijakaumaa, jossa n = 10 ja p = 0.7. Binomiaalinen todennäköisyysfunktio on:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Jos k = 7:
\[P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Binomikertoimen laskeminen \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Todennäköisyysarvojen laskeminen:
\[P(X = 7) = 120 kertaa (0.7)^7 kertaa (0.3)^3 \]
\[P(X = 7) \noin 120 \kertaa 0.0823543 \kertaa 0.027 \]
\[ P(X = 7) \noin 0.231 \]
Joten todennäköisyys sille, että lääke toimii täsmälleen 7 potilaalla kymmenestä, on noin 0.231 eli 23.1 %.
Esimerkki 2: Poissonin jakauma
Poissonin jakaumaa käytetään mallintamaan harvinaisen tapahtuman esiintymisten lukumäärää tietyllä aikavälillä tai tilavälillä.
Kysymys:
Kaupassa käy keskimäärin 4 asiakasta tunnissa. Mikä on todennäköisyys, että kaupassa käy tasan 5 asiakasta tunnissa?
Keskustelu:
Satunnaismuuttuja X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla lambda = 4. Poissonin todennäköisyysmassafunktio on:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Jos k = 5:
\[P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Laskea:
\[P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[P(X = 5) \noin \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \noin 0.156 \]
Todennäköisyys sille, että myymälässä käy tasan 5 asiakasta tunnissa, on siis noin 0.156 eli 15.6 %.
Jatkuva jakauma
Jatkuvia jakaumia käytetään, kun mitattava satunnaismuuttuja voi saada minkä tahansa arvon tietyllä vaihteluvälillä. Tunnettuja esimerkkejä jatkuvista jakaumista ovat normaalijakauma ja eksponentiaalijakauma.
Esimerkki 3: Normaalijakauma
Normaalijakauma, jota usein kutsutaan Gaussiseksi jakaumaksi, on jakauma, jota käytetään yleisesti useilla aloilla, kuten tieteessä, tekniikassa ja taloustieteessä.
Kysymys:
Kaupungissa aikuisten miesten pituudet noudattavat normaalijakaumaa keskiarvon ollessa 170 cm ja keskihajonnan ollessa 10 cm. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu mies on 160 cm ja 180 cm pitkä?
Keskustelu:
Meidän on laskettava z-arvo 160 cm:lle ja 180 cm:lle. Z-arvo määritellään seuraavasti:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Jos X = 160:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Jos X = 180:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Nyt meidän on tarkasteltava todennäköisyysarvoja -1:stä 1:een z-taulukossa. Arvo välillä z = -1 - z = 1 on noin 0.6826.
Todennäköisyys sille, että satunnaisesti valittu mies on 160–180 cm pitkä, on siis noin 0.6826 eli 68.26 %.
Esimerkki 4: Eksponenttijakauma
Eksponentiaalijakaumaa käytetään mallintamaan Poisson-prosessin tapahtumien välistä aikaa.
Kysymys:
Keskimääräinen aika kahden asiakkaan saapumisen välillä myymälässä on 15 minuuttia. Mikä on todennäköisyys, että kahden asiakkaan saapumisen välinen aika on alle 10 minuuttia?
Keskustelu:
Eksponenttijakaumalla on parametri \(\lambda\), joka on keskiarvon käänteisluku (\(\mu\)). Keskiarvolla 15 minuuttia:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Eksponentiaalinen kumulatiivinen jakaumafunktio on:
\[P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
Kun x = 10:
\[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 × 10} \]
\[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[P(X ≤ 10) \noin 1 – 0.5134 \]
\[P(X ≤ 10) \noin 0.4866 \]
Todennäköisyys sille, että kahden asiakkaan saapumisen välinen aika on alle 10 minuuttia, on noin 0.4866 eli 48.66 %.
Johtopäätös
Sekä diskreetit että jatkuvat todennäköisyysjakaumat ovat erittäin hyödyllisiä käsitteitä satunnaismuuttujien käyttäytymisen mallintamisessa ja ymmärtämisessä. Binomi- ja Poisson-jakaumia käytetään usein diskreeteille muuttujille, kun taas normaali- ja eksponentiaalijakaumat ovat esimerkkejä jatkuvista jakaumista.
Yllä olevien esimerkkien avulla toivomme, että olet saanut paremman ymmärryksen todennäköisyyksien laskemisesta ja tulkinnasta todennäköisyysjakaumissa. Johdonmukaisen harjoittelun avulla kykysi ymmärtää todennäköisyysjakaumia paranee ja sitä voidaan soveltaa eri tieteenaloilla.
