Esimerkkikysymyksiä aritmeettisista sarjoista
Aritmeettiset jonot ovat matematiikan peruskäsite, joka esiintyy usein erilaisissa tehtävissä sekä yläasteella että korkeakoulutuksessa. Tämä käsite sisältää lukujonon, jossa jokainen termi on seurausta vakioluvun lisäämisestä tai vähentämisestä edellisestä termistä. Tässä artikkelissa käsittelemme useita esimerkkiongelmia ja niiden ratkaisuja ymmärtääksemme aritmeettisten jonojen käsitettä paremmin.
Aritmeettisten sarjojen ymmärtäminen
Aritmeettinen sarja on sarja, jossa kahden peräkkäisen termin välinen erotus on vakio. Esimerkiksi, jos aritmeettisen sarjan ensimmäinen termi on \(a\) ja erotus \(d\), termit voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Jos haluamme löytää tämän sarjan n:nnen termin, n:nnen termin kaava (\(U_n\)) on:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Samaan aikaan aritmeettisen sarjan (\(S_n\)) ensimmäisten n termin summa voidaan laskea kaavalla:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Katso myös Soal ja Pembahasan
Esimerkkikysymys 1
Kysymys: Annetaan aritmeettinen sarja, jonka ensimmäinen termi on a = 5 ja yhteinen erotus on d = 3. Etsi sarjan kymmenes termi.
Keskustelu:
Kymmenennen termin (\(U_{10}\)) löytämiseksi voimme käyttää n:nnen termin kaavaa:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Sarjan kymmenes termi on siis 32.
Esimerkkikysymys 2
Kysymys: Laske aritmeettisen sarjan 15 ensimmäisen luvun summa, jonka ensimmäinen termi on \(a = 4\) ja yhteinen erotus on \(d = 7\).
Keskustelu:
Ensimmäisten 15 termin summan (\(S_{15}\)) löytämiseksi voimme käyttää kaavaa ensimmäisten n termin summan laskemiseksi:
\[S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15 - 1)d) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[S_{15} = 795 \]
Joten sarjan 15 ensimmäisen termin summa on 795.
Esimerkkikysymys 3
Kysymys: Tiedetään, että aritmeettisen sarjan viides termi on 20 ja kahdestoista termi on 48. Etsi sarjan ensimmäinen termi (a) ja yhteinen erotus (d).
Keskustelu:
Annetuista ehdoista:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Meillä on kaksi lineaarista yhtälöä, joissa on kaksi muuttujaa, jotka voimme ratkaista:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
Yhtälöstä 1 voimme ilmaista \(a\):n \(d\):n avulla:
\[ a = 20 – 4d \]
Nyt sijoitetaan \(a\) yhtälöön 2:
\[ 20 – 4pv + 11pv = 48 \]
\[ 20 + 7p = 48 \]
\[ 7pv = 28 \]
\[ d = 4 \]
Sijoitetaan nyt d:n arvo yhtälöön a = 20 – 4d:
\[ a = 20 – 4 \cpiste 4 \]
\[ a = 20–16 \]
\[ a = 4 \]
Sarjan ensimmäinen termi on siis 4 ja yhteinen erotus on 4.
Esimerkkikysymys 4
Kysymys: Kuinka monta termiä tarvitaan, jotta aritmeettinen sarja, jonka ensimmäinen termi on a = 2 ja yhteinen erotus d = 5, saadaan summaksi 200?
Keskustelu:
Tässä tapauksessa meidän on löydettävä ensimmäisten n termin summa (\(S_n\)), joka on yhtä suuri kuin 200. Käytä kaavaa ensimmäisten n termin summan laskemiseen:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Sijoita a:n ja d:n arvot näihin:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n - 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n - 1) = 200 \]
\[n(5n – 1) = 400 \]
Tämä on toisen asteen yhtälö. Ratkaistaksemme sen, muutamme sen muotoa:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Käytä toisen asteen kaavaa \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Tässä tapauksessa \(a = 5\), \(b = -1\) ja \(c = -400\):
\[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[n = \frac{1 \pm \qrt{8001}}{10} \]
Jos funktion \(\sqrt{8001}\) arvo on lähellä lukua 89.42, niin:
\[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Otamme positiiviset arvot:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[n \noin \frac{90.42}{10} \]
\[n \noin 9.042 \]
Vaadittujen termien määrä on siis 9 termiä (pyöristettynä).
Johtopäätös
Aritmeettiset jonot ovat keskeinen aihe matematiikassa. Ensimmäisen termin, yhteisen erotuksen, n:nnen termin ja ensimmäisten n termin summan perusteellinen ymmärtäminen on korvaamatonta monenlaisten ongelmien ratkaisemisessa. Yllä olevien esimerkkien ja keskustelujen avulla toivotaan, että lukijat saavat paremman ymmärryksen aritmeettisten jonojen peruskäsitteistä.
