Esimerkkikysymyksiä aritmeettisista sekvensseistä
Aritmeettiset jonot ovat matematiikan peruskäsite, joka esiintyy usein erilaisissa kokeissa ja tosielämän sovelluksissa. Aritmeettinen jonon on lukujono, jossa kahden peräkkäisen termin välinen ero on vakio. Tässä artikkelissa tutkimme aritmeettisten jonojen käsitettä syvällisemmin useiden esimerkkiongelmien avulla, joihin liittyy kattavat selitykset.
Määritelmät ja merkinnät
Ennen kuin perehdymme esimerkkiongelmiin, on tärkeää ymmärtää aritmeettisissa sarjoissa usein käytetty merkintätapa. Jos \(a\) on ensimmäinen termi ja \(d\) on yhteinen erotus (vakioerotus), niin aritmeettinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Tämän jonon n:s termi (Un) voidaan muotoilla seuraavasti:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Seuraavassa on useita esimerkkikysymyksiä ja niiden selityksiä aritmeettisten jonojen ymmärtämisen helpottamiseksi.
Esimerkkikysymys 1
Kysymys:
Oletetaan aritmeettinen jono, jonka ensimmäinen termi on \(a = 5\) ja yhteinen erotus on \(d = 3\). Määritä jono kymmenes termi.
Keskustelu:
Käyttämällä n:nnen termin yleistä kaavaa, nimittäin \(U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cpiste 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Joten sekvenssin viides termi on 32.
Esimerkkikysymys 2
Kysymys:
Annetaan aritmeettinen jono, jonka viides termi on 20 ja kahdeksas termi on 35. Määritä jono ensimmäinen termi \(a\) ja yhteinen erotus \(d\).
Keskustelu:
Kysymyksestä tiedämme:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Vähennä molemmat yhtälöt eliminoidaksesi \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 - 20 \]
\[ 3pv = 15 \]
\[ d = 5 \]
Sijoitetaan nyt d = 5 ja saadaan a:
\[ a + 4 \cpiste 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Joten jonon ensimmäinen termi on 0 ja erotus on 5.
Esimerkkikysymys 3
Kysymys:
Mikä on aritmeettisen jonon 20 ensimmäisen termin summa, jonka ensimmäinen termi on \(a = 2\) ja yhteinen erotus \(d = 4\)?
Keskustelu:
Aritmeettisen jonon n ensimmäisen termin summa voidaan laskea kaavalla:
\[S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d \right) \]
Tälle riville:
\[S_{20} = \frac{20}{2} \left(2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[S_{20} = 10 \vasen(4 + 76 \oikea) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[S_{20} = 800 \]
Joten sekvenssin 20 ensimmäisen termin summa on 800.
Esimerkkikysymys 4
Kysymys:
Aritmeettisen jonon kolmas termi on 15 ja seitsemäs termi on 27. Etsi jonon 12. termi.
Keskustelu:
Ensin meidän on löydettävä arvot \(a\) ja \(d\). Kysymyksestä tiedämme:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Vähennä molemmat yhtälöt eliminoidaksesi \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 - 15 \]
\[ 4pv = 12 \]
\[ d = 3 \]
Sijoitetaan nyt d = 3 ja saadaan a:
\[ a + 2 \cpiste 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Käyttämällä n:nnen termin kaavaa 12. termin löytämiseksi:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cpiste 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Joten sekvenssin viides termi on 42.
Esimerkkikysymys 5
Kysymys:
Aritmeettinen jono, jonka ensimmäinen termi on \(a\) ja yhteinen erotus \(d\), saa 10 ensimmäisen termin summan, eli 55. Jos \(d = 1\), määritä ensimmäinen termi \(a\).
Keskustelu:
Oletetaan, että d = 1 ja S_{10} = 55. Käytä kaavaa ensimmäisten termien summan laskemiseen:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Kun n = 10:
\[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Joten sekvenssin ensimmäinen termi on 1.
Johtopäätös
Aritmeettiset jonot ovat matematiikan peruskäsite, joka on erittäin hyödyllinen useilla eri aloilla. Tässä artikkelissa olemme käsitelleet useita esimerkkejä aritmeettisista sarjoista ja niiden ratkaisuista. Hyvä ymmärrys aritmeettisten jonojen kaavoista ja perusominaisuuksista on erittäin hyödyllistä ratkaistaessa erilaisia aiheeseen liittyviä ongelmia.
Harjoittelemalla yllä olevien kaltaisia esimerkkejä toivotaan, että tulet taitavammaksi ja nopeammaksi ratkaisemaan aritmeettisia lukujonoja sisältäviä ongelmia.
