Esimerkkikysymyksiä, jotka käsittelevät kahden toisensa poissulkemattoman tapahtuman A ja B yhteenlaskuperiaatetta
Johdanto
Todennäköisyyslaskennassa peruskäsitteiden ja niiden sovellusten ymmärtäminen on ratkaisevan tärkeää. Yksi usein esiin tuleva käsite on todennäköisyyksien yhteenlaskusääntö. Tässä artikkelissa perehdymme tarkemmin kahden toisensa poissulkemattoman tapahtuman yhteenlaskusääntöön. Ei-poissulkevia tapahtumia sattuu, kun kahdella tapahtumalla on yhteinen mahdollinen elementti, eli toisin sanoen molemmat tapahtumat voivat tapahtua samanaikaisesti. Ymmärryksen helpottamiseksi tarkastellaan esimerkkiongelmaa ja sen selitystä.
Perusteoria
Jos tapahtumat A ja B eivät ole toisensa poissulkevia, niin tapahtuman A tai B todennäköisyyden laskemiseen käytettävä yhteenlaskusääntö voidaan ilmaista seuraavasti:
\[ P(A \kuppi B) = P(A) + P(B) – P(A \kuppi B) \]
Tässä:
– ∫P(A ∫B) on todennäköisyys sille, että A tai B (tai molemmat) tapahtuu.
– \(P(A) \) on todennäköisyys sille, että tapahtuma A tapahtuu.
– \(P(B) \) on todennäköisyys sille, että tapahtuma B tapahtuu.
– ∫P(A ∫B) on todennäköisyys sille, että A ja B tapahtuvat samanaikaisesti.
Ongelmaesimerkki
Kysymys 1: Koulussa 70 % oppilaista tykkää pelata jalkapalloa (tapahtuma A), 40 % oppilaista tykkää pelata koripalloa (tapahtuma B) ja 20 % oppilaista tykkää pelata molempia urheilulajeja. Mikä on todennäköisyys, että oppilas tykkää pelata jalkapalloa tai koripalloa?
Keskustelu:
Se on tiedossa:
– \(P(A) = 0.70 \)
– \(P(B) = 0.40 \)
– \(P(A \cap B) = 0.20 \)
Käyttämällä kahden toisensa poissulkevan tapahtuman yhteenlaskuperiaatetta:
\[ P(A \kuppi B) = P(A) + P(B) – P(A \kuppi B) \]
\[ P(A \kuppi B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \kuppi B) = 0.90 \]
Joten todennäköisyys sille, että opiskelija pitää jalkapallon tai koripallon pelaamisesta, on 0.90 eli 90 %.
Kysymys 2: Kyselyssä 35 % vastaajista pitää kahvista (tapahtuma A), 50 % vastaajista pitää teestä (tapahtuma B) ja 10 % vastaajista pitää molemmista. Mikä on todennäköisyys, että vastaaja pitää kahvista tai teestä?
Keskustelu:
Se on tiedossa:
– \(P(A) = 0.35 \)
– \(P(B) = 0.50 \)
– \(P(A \cap B) = 0.10 \)
Käyttämällä kahden toisensa poissulkevan tapahtuman yhteenlaskuperiaatetta:
\[ P(A \kuppi B) = P(A) + P(B) – P(A \kuppi B) \]
\[ P(A \kuppi B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \kuppi B) = 0.75 \]
Todennäköisyys sille, että vastaaja pitää kahvista tai teestä, on siis 0.75 eli 75 %.
Kysymys 3: Tilastotietojen perusteella tiedetään, että 60 % ihmisistä tykkää lukea kirjoja (tapahtuma A), 30 % ihmisistä tykkää katsoa elokuvia (tapahtuma B) ja 15 % ihmisistä tykkää tehdä molempia. Mikä on todennäköisyys, että henkilö pitää kirjojen lukemisesta tai elokuvien katselusta?
Keskustelu:
Se on tiedossa:
– \(P(A) = 0.60 \)
– \(P(B) = 0.30 \)
– \(P(A \cap B) = 0.15 \)
Käyttämällä kahden toisensa poissulkevan tapahtuman yhteenlaskuperiaatetta:
\[ P(A \kuppi B) = P(A) + P(B) – P(A \kuppi B) \]
\[ P(A \kuppi B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \kuppi B) = 0.75 \]
Joten todennäköisyys sille, että henkilö pitää kirjojen lukemisesta tai elokuvien katselusta, on 0.75 eli 75 %.
Kysymys 4: Ravintolassa tehdyssä kyselyssä 55 % asiakkaista tilasi pizzaa (tapahtuma A), 35 % asiakkaista tilasi pastaa (tapahtuma B) ja 20 % asiakkaista tilasi molemmat. Mikä on todennäköisyys, että asiakas tilaa joko pizzaa tai pastaa?
Keskustelu:
Se on tiedossa:
– \(P(A) = 0.55 \)
– \(P(B) = 0.35 \)
– \(P(A \cap B) = 0.20 \)
Käyttämällä kahden toisensa poissulkevan tapahtuman yhteenlaskuperiaatetta:
\[ P(A \kuppi B) = P(A) + P(B) – P(A \kuppi B) \]
\[ P(A \kuppi B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \kuppi B) = 0.70 \]
Joten todennäköisyys sille, että asiakas tilaa pizzaa tai pastaa, on 0.70 eli 70 %.
Johtopäätös
Todennäköisyyttä tutkittaessa kahden toisensa poissulkemattoman tapahtuman A ja B yhteenlaskusääntö on erittäin tärkeä määritettäessä toisen tai molempien tapahtumien samanaikaisen esiintymisen todennäköisyyttä. Kaavan \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) avulla on helppo laskea kahden sellaisen tapahtuman yhteistodennäköisyys, joilla on leikkauspiste tai yhteinen elementti.
Yllä olevien esimerkkien avulla voimme nähdä, että tämän laskelman perusvaiheiden ymmärtäminen antaa meille mahdollisuuden soveltaa sitä erilaisissa tilanteissa, olipa kyseessä sitten koulutus, kyselytutkimukset tai arkielämä. Selkeä ja tarkka kyky tunnistaa, mitkä tapahtumat jakavat yhteisiä elementtejä, on ratkaisevan tärkeää todennäköisyyden oikean laskemisen kannalta. Siksi johdonmukainen harjoittelu ja peruskäsitteiden ymmärtäminen auttavat suuresti tämän aiheen hallitsemisessa.
