تکنیک‌های تعیین انحراف میانگین در داده‌های آماری
در آمار، صرفاً درک «مرکز» داده‌ها - مثلاً از طریق میانگین یا میانه - اغلب کافی نیست. دو مجموعه داده می‌توانند میانگین یکسانی داشته باشند، اما در سطوح «تغییرات» خود تفاوت قابل توجهی داشته باشند. بنابراین، معیارهای پراکندگی مهم هستند. یکی از معیارهای پراکندگی که درک و استفاده از آن نسبتاً آسان است، انحراف میانگین است. این مقاله تکنیک‌هایی را برای تعیین انحراف میانگین در اشکال مختلف داده‌های آماری ، همراه با مراحل محاسبه و مثال‌ها، مورد بحث قرار می‌دهد.
درک انحراف میانگین
انحراف میانگین، معیاری است که میانگین فاصله هر داده را از یک معیار گرایش مرکزی، معمولاً میانگین حسابی (میانگین) یا میانه، بیان می‌کند. فاصله مورد نظر، قدر مطلق اختلاف بین داده‌ها و مقدار مرکزی است، به طوری که هیچ اختلاف منفی، اختلاف مثبت را "خنثی" نمی‌کند.
به طور کلی، انحراف میانگین، میزان پراکندگی داده‌ها از مقدار مرکزی‌شان را توصیف می‌کند. هرچه انحراف میانگین کوچک‌تر باشد، داده‌ها به طور فشرده‌تری در اطراف مرکز خوشه‌بندی شده‌اند؛ هرچه مقدار بزرگ‌تر باشد، داده‌ها متغیرتر هستند.
چرا از قدر مطلق استفاده کنیم؟
اگر میانگین اختلاف بین داده‌ها و میانگین را بدون مقدار مطلق محاسبه کنیم، مجموع اختلاف‌ها همیشه صفر خواهد بود (زیرا میانگین نقطه تعادل است). به عنوان مثال، اگر اختلاف‌های +۵ و -۵ وجود داشته باشد، مجموع آنها برابر با ۰ می‌شود. بنابراین، از مقادیر مطلق استفاده می‌شود تا انحرافات واقعاً فاصله داده‌ها از مرکز را نشان دهند.
فرمول انحراف میانگین برای داده‌های تکی
برای داده‌های تکی (نه گروه‌بندی‌شده)، میانگین انحراف از میانگین به صورت زیر فرموله می‌شود:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
شرح:
– \( SR \): انحراف میانگین
– \( x_i \): داده i ام
– \( \bar{x} \): میانگین حسابی (میانگین)
– \( n \): مقدار داده
تکنیک محاسبه تک داده (مراحل)
۱. میانگین \( \bar{x} \) تمام داده‌ها را محاسبه کنید.
۲. اختلاف بین هر داده و میانگین را محاسبه کنید: \( x_i – \bar{x} \).
۳. قدر مطلق هر تفاضل را بدست آورید: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. تمام مقادیر مطلق اختلاف‌ها را جمع کنید.
۵. بر تعداد داده‌ها (n) تقسیم کنید.
مثال داده واحد
داده‌های مقدار: ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴
۱) میانگین:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
۲) قدر مطلق تفاضل:
– |۱۴ − ۱۰| = ۴
– |۱۴ − ۱۰| = ۴
– |۱۴ − ۱۰| = ۴
– |۱۴ − ۱۰| = ۴
– |۱۴ − ۱۰| = ۴
مجموع = ۴ + ۲ + ۰ + ۲ + ۴ = ۱۲
۳) انحراف میانگین:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
این بدان معناست که به طور متوسط هر مقدار 2,4 واحد از میانگین (10) انحراف دارد.
انحراف میانگین برای داده‌های مکرر (گسسته)
اگر داده‌ها به شکل مقادیر و فراوانی‌ها (مثلاً جدول) ارائه شوند، فرمول به صورت زیر در می‌آید:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
شرح:
– \( f_i \): فرکانس داده \( x_i \)
تکنیک‌های محاسبه داده‌های فرکانسی
۱. میانگین را محاسبه کنید: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
۲. محاسبه کنید \( |x_i-\bar{x}| \)
۳. در فرکانس ضرب کنید: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
۴. تمام نتایج مرحله ۳ را جمع کنید
۵. تقسیم بر کل فراوانی
مثال‌های داده‌های گسسته
| مقدار (x) | فراوانی (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
فراوانی کل: \(2+3+1=6\)
منظور داشتن:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
انحراف را محاسبه کنید:
– برای x=5: |5−6,67|=1,67 → ضربدر f=2 → 3,34
– برای x=7: |7−6,67|=0,33 → ضربدر f=3 → 0,99
– برای x=9: |9−6,67|=2,33 → ضربدر f=1 → 2,33
مجموع: ۳.۳۴ + ۰.۹۹ + ۲.۳۳ = ۶.۶۶
انحراف میانگین:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
انحراف میانگین برای داده‌های گروه‌بندی‌شده (فاصله کلاس)
در داده‌های گروه‌بندی‌شده (برای مثال، توزیع‌های فراوانی بازه ای )، مقادیر داده‌ها به صورت جداگانه نمایش داده نمی‌شوند، بلکه در کلاس‌ها نمایش داده می‌شوند. برای این منظور، از نقطه میانی کلاس (xi) برای نمایش داده‌ها در یک کلاس استفاده می‌شود.
فرمول:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
با این حال، \(x_i\) نقطه میانی کلاس است.
تکنیک‌های محاسبه داده‌های گروهی
۱. نقطه میانی هر کلاس را تعیین کنید:
\[
x_i=\frac{\text{حد پایین + حد بالا}}{2}
\]
۲. میانگین گروه را محاسبه کنید:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
۲. محاسبه کنید \( |x_i-\bar{x}| \)
۴. در فرکانس \(f_i \) ضرب کنید
۵. تمام نتایج را جمع کنید، سپس بر کل فراوانی تقسیم کنید.
مثال داده‌های گروهی
| کلاس | ف |
|—|—|
| ۲۰–۲۴ | ۲ |
| ۲۰–۲۴ | ۲ |
| ۲۰–۲۴ | ۲ |
نقطه میانی:
– ۲۰–۲۴ → ۲۲
– ۲۰–۲۴ → ۲۲
– ۲۰–۲۴ → ۲۲
مجموع f = 10
منظور داشتن:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
انحراف:
– |۲۲−۱۶.۵|=۵.۵ → ×۲ = ۱۱
– |۲۲−۱۶.۵|=۵.۵ → ×۲ = ۱۱
– |۲۲−۱۶.۵|=۵.۵ → ×۲ = ۱۱
مجموع = ۱۳.۵ + ۲.۵ + ۱۱ = ۲۷
انحراف میانگین:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
انحراف میانگین از میانه
علاوه بر میانگین، انحراف میانگین را نیز می‌توان از میانه محاسبه کرد. اصل کار یکسان است، فقط مقدار مرکزی متفاوت است. این روش زمانی مفید است که داده‌ها حاوی داده‌های پرت باشند، زیرا میانه در برابر مقادیر شدید مقاوم‌تر است.
برای داده‌های تکی:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
برای داده‌های فرکانس:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
مزایا و محدودیت‌های انحراف میانگین
مزایای:
۱. فهم آن آسان است زیرا از «فاصله متوسط» از مرکز داده استفاده می‌کند.
۲. از تمام داده‌ها (نه فقط داده‌های خاص) استفاده کنید.
۳. قابل محاسبه برای اشکال مختلف ارائه داده‌ها.
کِتِرباتاسان:
۱. نسبت به انحراف معیار محبوبیت کمتری دارد تحلیل آماری پیشرفته.
۲. استفاده از مقادیر مطلق، انجام برخی از عملیات جبری را دشوارتر می‌کند.
۳. در بسیاری از روش‌های استنباطی به اندازه انحراف معیار قوی نیست.
بستن
تکنیک تعیین انحراف میانگین در داده‌های آماری اساساً از یک الگوی ثابت پیروی می‌کند: تعیین مقدار مرکزی (میانگین یا میانه)، محاسبه فاصله مطلق هر نقطه داده (یا نقطه میانی کلاس) از مرکز، و سپس میانگین‌گیری از آنها - با در نظر گرفتن فراوانی در صورت ارائه داده‌ها در جدول. انحراف میانگین، معیار مناسبی برای پراکندگی برای توصیف شهودی تغییرپذیری داده‌ها است. با درک مراحل، می‌توانید تغییرات را در مجموعه‌های داده مقایسه کنید و پایداری یک مجموعه داده را به طور کامل‌تری ارزیابی کنید.
اگر مایل باشید، می‌توانم به شما کمک کنم تا نسخه‌ای از این مقاله را در قالب تکالیف مدرسه (با مقدمه، بحث و نتیجه‌گیری) تهیه کنید یا سوالات تمرینی را به بحث اضافه کنید.
