برخوردهای کاملاً کشسان
برخورد دو جسم، برخورد کاملاً کشسان نامیده میشود اگر تکانه یا انرژی جنبشی هر جسم قبل از برخورد با تکانه و انرژی جنبشی هر جسم پس از برخورد برابر باشد. به عبارت دیگر، قانون پایستگی تکانه و قانون پایستگی انرژی جنبشی در برخوردهای کاملاً کشسان قابل اجرا هستند. استفاده از کلمه کشسان نشان میدهد که پس از برخورد، دو جسم به هم نمیچسبند یا به یکدیگر متصل نیستند، بلکه از هم دور میشوند. تکانه هر جسم پایسته است.
تکانه هر جسم پایسته است.
m1 v1 + متر2 v2 = متر1 v1 ' + متر2 v2 معادله ۱.۵
انرژی جنبشی هر جسم پایسته است.
1⁄2 میلی ولت12 + 1⁄2 میلی ولت22 = 1⁄2 میلیولت1'2 + 1⁄2 میلی ولت2'2 معادله ۱.۶
برخورد کاملاً کشسان باید بیصدا باشد و به دلیل اصطکاک بین دو جسم برخوردکننده، گرما تولید نکند. اگر برخورد دو جسم باعث ایجاد صدا و گرما شود، انرژی جنبشی اجسام پایسته نمیماند. مقداری از انرژی جنبشی به انرژی صوتی و انرژی گرمایی و مقداری به انرژی درونی تبدیل میشود. نمونهای از برخورد کاملاً کشسان، برخورد ذرات اتمی و زیراتمی است.
در یک مسئله برخورد کاملاً الاستیک، اگر سرعت اولیه مشخص باشد در حالی که سرعت نهایی نامعلوم باشد، مسئله را نمیتوان تنها با استفاده از معادلات ۱.۵ و ۱.۶ حل کرد. به همین دلیل، هر دو معادله برای استخراج معادلات دیگری که میتوانند برای تعیین سرعت نهایی استفاده شوند، دستکاری میشوند.
فاکتور ۱/۲ را حذف کنید و سپس ۱.۶ را دستکاری کنید
m1 v12 + متر2 v22 = متر1 v1 ' 2 + متر2 v2 ' 2
m1 v12 - متر1 v1' 2 = متر2 v2 ' 2 - متر2 v22
m1 (v12 - v1' 2 ) = متر2 (v2 ' 2 - v2 2) —> (a + b)(a – b) = a2 - ب2
m1 (v1 +v1 ') (v1 - v1 ') = متر2 (v2 ' + وی2 ) (وی2 ' – وی2 ) …………………….. معادله ۱.۷
معادله ۱.۵ را دستکاری کنید
m1 v1 - متر1 v1 ' = متر2 v2 م2 v2
m1 (v1 - v1 ') = متر2 (v2 ' – وی2) …………………….. معادله ۱.۷
برای بدست آوردن نتیجه نهایی، معادله ۱.۷ را بر معادله ۱.۸ تقسیم کنید.
(v1 +v1 ') = (v2 ' + وی2)
v1 - v2 = وی2 ' – وی1 '
v1 - v2 = – (v1 ' – وی2 ') …………………….. معادله ۱.۹
معادلات ۱.۵ و ۱.۹ میتوانند برای حل مسائل برخورد کاملاً کشسان استفاده شوند. معادلات ۱.۵ و ۱.۹ را ترکیب کنید تا دو معادله برای تعیین سرعت نهایی دو جسم در صورتی که جرم و سرعت اولیه آنها نامعلوم باشد، به دست آورید.
هنگام حل سوالات با استفاده از معادلات بالا، از علامت صحیح v استفاده کنید.1 و v2اگر شیء ۱ به سمت راست حرکت کند، v1 مثبت است، و برعکس، اگر جسم دوم به سمت چپ حرکت کند، v2 منفی است. اگر هر دو جسم در جهات مختلف حرکت کنند، اما هیچ اطلاعاتی در مورد جهت حرکت وجود نداشته باشد، v1 و v2 باید به طور متفاوتی امضا شود، برای مثال، v1 مثبت است، و v2 منفی است
۴.۱.۱ دو جسم با جرم یکسان
اگر م1 = متر2به1 ' = v2 و v2' = v1 .
اگر دو جسم در جهات مختلف حرکت کنند چه؟
برای مثال، اگر قبل از برخورد، شیء ۱ به سمت راست و شیء ۲ به سمت چپ حرکت کند، شیء ۱ به سمت چپ حرکت خواهد کرد (v1' = – v2) و شیء ۲ به سمت راست حرکت خواهد کرد (v2' = v1) پس از برخورد.
اگر هر یک از اجسام در ابتدا در حالت سکون باشند، چه میشود؟
برای مثال، اگر قبل از برخورد، شیء ۲ در حالت سکون باشد (v2 = 0)، جسم 1 در حالت سکون خواهد بود (v1' = 0) و جسم ۲ با همان سرعت اولیه جسم ۱ (v) حرکت خواهد کرد.2' = v1) پس از برخورد. اگر قبل از برخورد، جسم ۱ به سمت راست حرکت کند، جسم ۲ پس از برخورد به سمت راست حرکت خواهد کرد. از این رو، دو جسم سرعتهای خود را با هم مبادله میکنند.
مثال سوال ۴
اجسام A (2 کیلوگرم) و B (2 کیلوگرم) به ترتیب با سرعتهای 4 متر بر ثانیه و 2 متر بر ثانیه در جهتهای مخالف حرکت میکنند. اگر اجسام A و B در یک برخورد کاملاً کشسان با هم برخورد کنند، سرعت نهایی اجسام A و B چقدر است؟
شناخته شده:
mA = 2 کیلوگرم، مترB = ۲ کیلوگرم، ولتA = ۸ متر بر ثانیه، ولتB = – ۲ متر بر ثانیه
تحت تعقیب: vA' و vB '
راه حل :
vA' = – ۲ متر بر ثانیه و vB' = ۱۳ متر بر ثانیه
پس از برخورد، جسم A با سرعت ۲ متر بر ثانیه و جسم B با سرعت ۴ متر بر ثانیه در جهت مخالف حرکت میکنند. اگر قبل از برخورد، جسم A به سمت راست و جسم B به سمت چپ حرکت کند، پس از برخورد، جسم A به سمت چپ و جسم B به سمت راست حرکت خواهد کرد.
مثال سوال ۴
جسم A (2 کیلوگرم) با سرعت 2 متر بر ثانیه به سمت راست حرکت میکند و با جسم B (2 کیلوگرم) که در حالت سکون است برخورد میکند. اگر دو جسم در یک برخورد کاملاً کشسان با هم برخورد کنند، سرعت نهایی اجسام A و B چقدر است؟
شناخته شده:
mA = 2 کیلوگرم، مترB = ۲ کیلوگرم، ولتA = ۸ متر بر ثانیه، ولتB = ۵۰ متر بر ثانیه
تحت تعقیب: vA ' و vB '
راه حل :
vA' = 0 و vB' = ۱۳ متر بر ثانیه
پس از برخورد، جسم A در حالت سکون است و جسم B با سرعت 2 متر بر ثانیه به سمت راست حرکت میکند.
۴.۱.۲ دو جسم با جرمهای متفاوت
اگر دو جسم سرعت و جرم اولیه متفاوتی داشته باشند (اختلاف جزئی)، سرعتهای نهایی با استفاده از معادلات ۱.۱۰ و ۱.۱۱ مشخص میشوند.
اگر در ابتدا جسم ۲ در حالت سکون باشد (v2 = 0)، معادله ۱.۱۰ به معادله ۱.۱۲ و معادله ۱.۱۱ به معادله ۱.۱۳ تبدیل میشود.
اگر v2 = 0، متر1 خیلی عالیه، و م2 بسیار کوچک است، با حل معادلات ۱.۱۲ و ۱.۱۳ v1' = v1 و v2' = 2 ولت1 به دست میآیند. اگر v2 = 0، متر1 بسیار کوچک است، و م2 خیلی عالیه، با حل معادلات ۱.۱۲ و ۱.۱۳ v1 ' = -v1 و v2 ' = 0 بدست میآید. علامتهای مثبت و منفی نشان دهنده جهتهای مخالف حرکت هستند.
مثال سوال ۴
جسمی به جرم ۱ کیلوگرم با سرعت ۲۰ متر بر ثانیه حرکت میکند و در یک برخورد کاملاً الاستیک با دیوار برخورد میکند. سرعت نهایی جسم و دیوار چقدر است؟
شناخته شده:
mA = ۲ کیلوگرم، ولتA = 20 متر بر ثانیه، مترB = خیلی عالی، vB = 0
خواسته :vA' و vB'
راه حل :
vA' = -20 متر بر ثانیه و vB' = 0
پس از برخورد، جسم A با سرعت 20 متر بر ثانیه به سمت پایین پرتاب میشود و جسم B در حالت سکون باقی میماند. اگر قبل از برخورد، جسم A به سمت راست حرکت کند، پس از برخورد به سمت چپ حرکت میکند.
