مقاله در مورد اصل برنولی و معادله برنولی
وقتی موتورسواری میکنیم، لباسهایی که میپوشیم برعکس پف میکنند. گاهی اوقات، اگر باد شدیدی بوزد، در میتواند خودش را ببندد. اگرچه باد بیرون از خانه میوزد، در داخل خانه است.
این را میتوان با استفاده از اصل برنولی توضیح داد. دانیل برنولی (۱۷۰۰-۱۷۸۲) اصلی را کشف کرد که میتوانست برای توضیح پدیده فوق مورد استفاده قرار گیرد.
اصل برنولی
اصل برنولی بیان میکند که هر جا سرعت جریان سیال زیاد باشد، فشار سیال کم است. برعکس، اگر سرعت جریان سیال کم باشد، فشار سیال زیاد است. وقتی یک موتورسیکلت سریع حرکت میکند، سرعت هوا در جلو و کنار بدن شما زیاد است. بنابراین، فشار هوا کم میشود. قسمت پشت بدن شما توسط جلوی بدن شما مسدود میشود، بنابراین سرعت هوا در پشت بدن شما زیاد نمیشود. در نتیجه، فشار هوا در پشت بدن شما بیشتر میشود. زیرا اختلاف فشار هوا وجود دارد، جایی که در پشت بدن فشار هوا بیشتر از هوا است، پیراهن شما را به عقب هل میدهد، به طوری که لباسهای شما پف کرده به نظر میرسند.
در مورد درِ خانه که وقتی باد از بیرون خانه میوزد، خودش بسته میشود چطور؟ هوای بیرون خانه سریعتر از هوای داخل خانه حرکت میکند. در نتیجه، فشار هوای بیرون خانه کمتر از فشار هوای داخل خانه است. از آنجا که اختلاف فشار وجود دارد، جایی که فشار هوای داخل خانه بیشتر است، در به بیرون رانده میشود. به عبارت دیگر، لنگه در از جایی که فشار هوا زیاد است به سمت جایی که فشار هوا کم است حرکت میکند.
معادله برنولی
پیش از این، ما در مورد اصل برنولی مطالبی آموختهایم. برنولی همچنین این اصل را به صورت کمی توسعه داد. برای استخراج معادله برنولی، فرض میکنیم که جریان سیال پایدار و آرام، غیرفشرده و ویسکوزیته حداقل است، بنابراین میتوان از آن صرف نظر کرد.
در بحث معادله پیوستگی، آموختیم که دبی سیال نیز میتواند بسته به مساحت جریان لوله جریان تغییر کند. بر اساس اصل برنولی که در بالا توضیح داده شد، فشار سیال نیز میتواند بسته به دبی سیال تغییر کند. فشار سیال همچنین میتواند بسته به ارتفاع سیال تغییر کند. رابطه بین فشار، دبی و ارتفاع جریان را میتوان در معادله برنولی بدست آورد.
معادله برنولی بسیار مهم است زیرا میتوان از آن برای تحلیل پروازهای هواپیما، نیروگاههای برق آبی، سیستمهای لولهکشی و غیره استفاده کرد. برای اینکه معادله برنولی به طور کلی استخراج شود، فرض میکنیم که سیال از طریق یک لوله جریان با سطح مقطع عرضی متفاوت و ارتفاع متفاوت جریان مییابد. برای استخراج معادله برنولی، قضیه کار و انرژی را برای سیال در لوله جریان اعمال میکنیم.
رنگ مات در لوله جریان در شکل زیر، جریان سیال را نشان میدهد، در حالی که رنگ سفید هیچ سیالی را نشان نمیدهد.
سیال در سطح مقطع ۱ (سمت چپ) تا L1 جریان مییابد و سیال در بخش ۲ (سمت راست) را مجبور به حرکت تا L2 میکند. از آنجا که سطح مقطع ۲ در سمت راست کوچکتر است، سرعت جریان سیال در سمت راست لوله جریان بزرگتر است (معادله پیوستگی را به خاطر بسپارید). این باعث اختلاف فشار بین بخش ۲ (سمت راست لوله جریان) و بخش ۱ (سمت چپ لوله جریان) میشود - اصل برنولی را به خاطر بیاورید. سیالی که در سمت چپ بخش ۱ قرار دارد، به سیال سمت راست فشار (P1) وارد میکند و کار انجام میدهد :
سپس معادله W1 را میتوان نوشت:
W 1 = p 1 A 1 L 1
در بخش ۲ (سمت راست لوله جریان)، کار انجام شده روی سیال برابر است با:
W2 = − p2 A2 L2
علامت منفی نشان میدهد که نیروی اعمال شده خلاف جهت حرکت است. بنابراین، سیال در سمت راست سطح مقطع ۲ کار انجام میدهد. علاوه بر این، نیروی گرانش نیز روی سیال کار انجام میدهد. در مورد بالا، مقداری از جرم سیال از مقطع ۱ تا L1 به مقطع ۲ تا L2 منتقل میشود ، که در آن حجم سیال در مقطع ۱ (A1L1) = حجم سیال در مقطع ۲ (A2L2) است . کار انجام شده توسط گرانش عبارت است از :
W3 = − میلیگرم ( h2 − h1 )
W3 = − میلیگرم در ساعت + میلیگرم در ساعت
W3 = میلیگرم در ساعت − میلیگرم در ساعت − میلیگرم در ساعت
علامت منفی به دلیل جریان رو به بالای سیال، برخلاف جهت جاذبه، ایجاد میشود. بنابراین، کار خالص انجام شده روی سیال برابر است با:
W = W ۱ + W ۲ + W ۳
W = P1 A1 L1 - پ2 A2 L2 + میلیگرم1 - میلیگرم2
قضیه کار-انرژی بیان میکند که کار خالص انجام شده روی یک سیستم برابر با تغییر انرژی جنبشی است. بنابراین، میتوانیم کار (W) را با تغییرات انرژی جنبشی (EK2 – EK1 ) جایگزین کنیم.
معادله بالا را میتوان دوباره نوشت:
W = P1 A1 L1 - پ2 A2 L2 + میلیگرم1 - میلیگرم2
EK2 - ای کی1 = پ1 A1 L1 - پ2 A2 L2 + میلیگرم1 - میلیگرم2
1⁄2 میلی ولت22 – 1/2 میلی ولت12 = پ1 A1 L1 - پ2 A2 L2 + میلیگرم1 - میلیگرم2
جرم سیالی که تا L جریان مییابد1 در مقطع A1 = جرم سیالی که تا L جریان مییابد2 (مقطع A2). جرم سیال، مثلاً m، حجمی برابر با A دارد.1 L1 و A2 L2 جایی که A1 L1 = الف2 L2 (L2 از L بلندتر است1).
حالا m را در معادله بالا با m = ρ AL جایگزین میکنیم:
این معادله برنولی است. معادله برنولی بر اساس اصل کار-انرژی بدست آمده است، بنابراین شکلی از پایستگی انرژی است.
P = فشار، ρ = چگالی، v = سرعت سیال، g = شتاب گرانش، h = ارتفاع لوله از سطح زمین.
بخشهای چپ و راست معادله برنولی بالا میتوانند به دو نقطه در هر کجای لوله جریان اشاره داشته باشند، بنابراین میتوانیم معادله بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
حال بیایید معادله برنولی را برای چند حالت بررسی کنیم.
معادله برنولی در سیالات ساکن
حالت خاص معادله برنولی برای سیال ساکن است، جایی که سیال هیچ سرعتی ندارد. بنابراین، v1 = v2 = 0. در مورد سیال ساکن، میتوانیم معادله برنولی را به صورت زیر فرموله کنیم:
اگر h2 – h1 = h باشد، این معادله را میتوان به صورت زیر نوشت:
p1 − p2 = ρg ( h2 − h1 )
پ ۱ − پ ۲ = ρ gh
معادله برنولی روی لوله هم ارتفاع
اگر ارتفاع لوله یکسان باشد، معادله برنولی به صورت زیر تغییر میکند:
