کاربردهای اصل برنولی و معادله برنولی

مقاله در مورد کاربردهای اصل برنولی و معادله برنولی

قضیه توریچلی

یکی از کاربردهای معادله برنولی، محاسبه سرعت خروج مایع از ته ظرف است (شکل را ببینید).

معادله برنولی را در نقطه ۱ (سطح ظرف) و نقطه ۲ (سطح سوراخ) اعمال می‌کنیم. از آنجا که قطر سوراخ در کف ظرف بسیار کوچکتر از قطر ظرف است، سرعت مایع روی سطح ظرف صفر در نظر گرفته می‌شود (v ₁ = 0). سطح ظرف و سطح سوراخ باز هستند به طوری که فشار برابر با فشار اتمسفر است (P ₁ = P ₂ ). بنابراین، معادله برنولی برای این حالت به صورت زیر است:

اگر بخواهیم سرعت جریان مایع را در سوراخ ته ظرف محاسبه کنیم، این معادله به صورت زیر تغییر می‌یابد:

چگالی مایع سیال یکسان است به طوری که ρ حذف می‌شود.

بر اساس این معادله، سرعت جریان آب در سوراخی که از سطح ظرف فاصله دارد، برابر است با

سرعت جریان آبی که تا h سقوط آزاد می‌کند (با حرکت سقوط آزاد مقایسه کنید). این به عنوان قضیه توریچلی شناخته می‌شود. این قضیه توسط توریچلی، شاگرد گالیله، یک قرن قبل از کشف معادله توسط برنولی کشف شد.

اثر ونتوری

علاوه بر قضیه توریچلی، معادله برنولی را می‌توان در موارد خاص دیگری نیز به کار برد، یعنی زمانی که سیال در بخشی از لوله که تقریباً ارتفاع یکسانی دارد، جریان می‌یابد. برای درک این توضیح، به شکل زیر توجه کنید.

در شکل بالا به نظر می‌رسد که ارتفاع لوله، هم بخشی از لوله که سطح مقطع بزرگی دارد و هم

بخشی از لوله که سطح مقطع کوچکی دارد، تقریباً یکسان است به طوری که ارتفاع برابر است. اگر در این مورد اعمال شود، معادله برنولی به صورت زیر تغییر می‌کند:

وقتی سیال از بخش کوچکی از لوله (A2) عبور می‌کند _، سرعت سیال افزایش می‌یابد. طبق اصل برنولی، اگر سرعت سیال افزایش یابد، فشار سیال کم می‌شود. فشار سیال در بخش باریک لوله کمتر است، اما سرعت جریان سیال بیشتر است.

این به عنوان اثر ونتوری شناخته می‌شود و به صورت کمی نشان می‌دهد که اگر سرعت جریان سیال زیاد باشد، فشار سیال کم می‌شود. به همین ترتیب، اگر سرعت جریان سیال کم باشد، فشار سیال زیاد می‌شود.

متر ونتوری

یک کاربرد جالب اثر ونتوری، ونتوری متر است. این ابزار برای اندازه‌گیری سرعت جریان یک سیال، به عنوان مثال، محاسبه سرعت جریان آب یا روغنی که از طریق یک لوله عبور می‌کند، استفاده می‌شود. دو نوع ونتوری متر وجود دارد، یعنی ونتوری مترهای بدون مانومتر و ونتوری مترهایی که از مانومتری حاوی مایعات دیگر مانند جیوه استفاده می‌کنند. اصل کار یکسان است.

ونتوری متر بدون مانومتر

شکل زیر یک ونتوری متر را نشان می‌دهد که برای اندازه‌گیری دبی سیال در لوله استفاده می‌شود.

وقتی مایع از بخش کوچکی از لوله عبور می‌کند (A2 ₎ ، سرعت مایع افزایش می‌یابد. طبق اصل برنولی، اگر سرعت سیال افزایش یابد، فشار مایع کم می‌شود. بنابراین، فشار مایع در یک بخش بزرگ بیشتر از فشار مایع در یک بخش کوچک است (P1 _> P2 ₎ . در عوض، _v2 > _v1

از آنجا که P1 _> P2 _و v2 _> v1 _است ، این معادله را می‌توان به صورت زیر تغییر داد:

معادله 1.

معادله پیوستگی:

معادله 2.

آنچه مورد نظر است، نرخ جریان مایع در یک مقطع بزرگ (v1) است _. ما v2 را _در معادله 1 با v2 _در معادله 2 جایگزین می‌کنیم.

معادله 3.

برای محاسبه فشار سیال در عمق مشخص، از معادله زیر استفاده کنید:

p = ρ gh → معادله a

اگر اختلاف چگالی سیال حداقل باشد، از این معادله برای تعیین اختلاف فشار در ارتفاعات مختلف استفاده کنید. بنابراین، معادله a را می‌توان به صورت زیر تغییر داد:

Δp = ρg Δh

برای حالت فوق، این معادله را می‌توان به صورت زیر تغییر داد:

p ₁ − p ₂ = ρ gh → معادله b

_{اکنون p1} – p2 _را در معادله 3 با p1 _– p2 _در معادله b جایگزین می‌کنیم :

از آنجا که مایع یکسان است، چگالی نیز یکسان است. ρ را از معادله حذف کنید.

لوله‌های پیتوت

اگر از ونتوری متر برای اندازه‌گیری دبی مایع استفاده شود، از لوله پیتوت برای اندازه‌گیری دبی گاز یا هوا استفاده می‌شود. سوراخ در نقطه ۱ موازی با جریان هوا است. موقعیت این دو سوراخ به اندازه کافی از انتهای لوله پیتوت دور است تا دبی و فشار هوای بیرون سوراخ با دبی و فشار هوای آزاد برابر باشد. در این حالت، v₁ = دبی هوای آزاد (این چیزی است که ما اندازه‌گیری خواهیم کرد) و فشار روی پای چپ مانومتر (لوله چپ) = فشار هوای آزاد (P₁).

سوراخی که به پای راست مانومتر منتهی می‌شود، عمود بر جریان هوا است. بنابراین، سرعت هوای عبوری از این سوراخ (وسط) کاهش می‌یابد و هوا هنگام رسیدن به نقطه ۲ متوقف می‌شود. در این حالت، v2 ₌ 0. فشار روی پای راست مانومتر برابر با فشار هوا در نقطه ۲ (P2) است _. ارتفاع نقطه ۱ و نقطه ۲ تقریباً یکسان است (اختلاف خیلی زیاد نیست) به طوری که می‌توان از آن صرف نظر کرد.

اختلاف فشار (P2 _– P1 ₎ = فشار هیدرواستاتیک مایع در مانومتر (رنگ سیاه در مانومتر نشان دهنده مایع، جیوه، است). از نظر ریاضی می‌توان نوشت:

p ₂ – p ₁ = ρ 'gh → معادله 2

ρ '= چگالی مایع در مانومتر

معادله ۱ و معادله ۲. بخش سمت چپ یکسان است (P2 _– P1 ₎ . بنابراین، معادلات ۱ و دو را می‌توان به صورت زیر تغییر داد:

با پیپت بنوشید

آیا تا به حال با پیپت آب نوشیده‌اید؟ وقتی با پیپت آب می‌مکییم، باعث می‌شویم هوای داخل پیپت سریع‌تر حرکت کند. در این حالت، هوای داخل پیپت در دهان ما سرعت بیشتری دارد. در نتیجه، فشار هوا در قسمت پیپت کمتر می‌شود. هوای قسمت پیپت نزدیک به نوشیدنی سرعت کمتری دارد. از آنجا که سرعت کم است، فشار بیشتر است. این اختلاف فشار هوا باعث می‌شود آبی که می‌نوشیم به داخل دهانمان جریان یابد. در این حالت، مایع از قسمتی از پیپت که فشار هوا زیاد است به سمت قسمتی از پیپت که فشار هوا کم است حرکت می‌کند.

دودکش

آیا دودکش را دیده‌اید؟ چرا دود می‌تواند از طریق دودکش به سمت بالا حرکت کند؟ اولاً، دود تولید شده توسط احتراق دمای بالایی دارد. به دلیل دمای بالا، چگالی هوا کم است. هوایی که چگالی کمی دارد، به راحتی شناور می‌شود یا به سمت بالا حرکت می‌کند. دلیل آن فقط این نیست. اصل برنولی نیز در این مسئله دخیل است.

دوم، اصل برنولی بیان می‌کند که اگر سرعت جریان هوا زیاد باشد، فشار کم می‌شود، در غیر این صورت اگر سرعت جریان هوا کم باشد، فشار زیاد است. بالای دودکش در فضای باز قرار دارد. در بالای دودکش باد می‌وزد، بنابراین فشار هوا در اطراف آن کمتر است. در یک اتاق بسته، بادی نمی‌وزد، بنابراین فشار هوا بیشتر است. بنابراین، دود از طریق دودکش خارج می‌شود. هوا از جایی که فشار هوا زیاد است به جایی که فشار هوا کم است حرکت می‌کند.

سوراخ موش صحرایی در زمین

به شکل زیر توجه کنید. این شکل یک سوراخ موش در زمین است. موش‌ها نیز اصل برنولی را می‌دانند. موش‌ها ترجیح می‌دهند به دلیل تنگی نفس نمیرند، بنابراین دو سوراخ در ارتفاع‌های مختلف ایجاد می‌کنند. در نتیجه اختلاف ارتفاع در سطح زمین، هوا با هوای دیگر در حال برخورد است. مانند جریان آب از لوله‌ای با قطر بزرگ به لوله‌ای با قطر کوچک است. بنابراین، سرعت هوا افزایش و فشار هوا کاهش می‌یابد.

چون اختلاف فشار هوا وجود دارد، هوا مجبور است از سوراخ موش جریان یابد. هوا از جایی که فشار هوا زیاد است به جایی که فشار هوا کم است جریان می یابد.

بال‌های هواپیما و نیروی بالابر دینامیکی

یکی از عواملی که باعث پرواز هواپیما می‌شود، بال‌ها هستند. شکل بال منحنی است و قسمت جلویی آن ضخیم‌تر از قسمت عقب آن است. به این شکل بال، بال ایروفویل می‌گویند. این ایده از بال‌های پرندگان تقلید شده است. شکل بال‌های پرندگان نیز مانند آن است (بال‌های پرنده منحنی هستند و قسمت جلویی آن ضخیم‌تر است). تفاوت این است که بال‌های پرندگان را می‌توان تکان داد، در حالی که بال‌های هواپیما این قابلیت را ندارند. پرندگان می‌توانند پرواز کنند زیرا بال‌های خود را تکان می‌دهند، بنابراین جریان هوا از دو طرف بال وجود دارد. برای اینکه هوا در دو طرف بال هواپیما جریان یابد، هواپیما باید به جلو حرکت کند. انسان‌ها از ماشین‌آلات برای حرکت هواپیماها استفاده می‌کنند.

جلوی بال طوری طراحی شده است که به سمت بالا خم شود. هوایی که از پایین جریان می‌یابد با هوای روی بال برخورد می‌کند. این مانند جریان آب از لوله‌ای با سطح مقطع بزرگ به لوله‌ای با سطح مقطع باریک است. در نتیجه، سرعت هوای بالای بال افزایش می‌یابد. زیرا با افزایش سرعت هوا، فشار هوا کم می‌شود. برعکس، سرعت جریان هوای زیر بال کمتر است زیرا هوا برخورد نمی‌کند (فشار هوا بیشتر است). وجود این اختلاف فشار، باعث می‌شود بال هواپیما بالا برود.

اصل برنولی تنها یکی از عوامل است. علت دیگر، تکانه است. معمولاً بال هواپیما کمی به سمت بالا کج شده است. هوایی که به سطح زیرین بال برخورد می‌کند، به سمت پایین منحرف می‌شود. از آنجا که هواپیما دو بال دارد، در سمت چپ و راست، هوایی که به سمت پایین منحرف می‌شود با یکدیگر برخورد می‌کند. تغییرات در تکانه مولکولی هوایی که با هم برخورد می‌کنند، نیروی بالابر اضافی ایجاد می‌کند.

زیرا شکل بال به سمت دم هواپیما انحنا دارد، به طوری که هوا توسط بال مجبور به جریان یافتن دوباره به سمت پایین می‌شود. طبق قانون سوم نیوتن، چون نیروی کنش وجود دارد، نیروی واکنش نیز وجود دارد. از آنجا که بال‌ها هوا را به سمت پایین می‌رانند، هوا باید بال‌ها را به سمت بالا حرکت دهد. در این حالت، هوا نیروی بالابرنده را روی بال ایجاد می‌کند. بنابراین، فقط اصل برنولی نیست که باعث بلند شدن هواپیما می‌شود.