Artikkel Archimedese printsiibist
Tohutu massiga laev ei upu, samas kui väikese massiga kivi võib uppuda. Miks see nii on? Vastus on lihtne, kui mõistate ujuvuse mõistet ja Archimedese printsiipi.
Igapäevaelus näeme, et vedelikku asetatud esemed, näiteks kivi, kaaluvad vähem kui need, mis ei ole vedelikus. Kivi võib olla raske maapinnast tõsta, kuid sama kivi saab merevee põhjast vaevata üles. See on tingitud ujuvusjõust. Ujuvus tekib vedeliku rõhu erinevuste tõttu erinevatel sügavustel. Vedeliku rõhk suureneb sügavusega – mida paksem on vedelik, seda suurem on vedeliku rõhk. Kui objekt vedelikku asetatakse, tekib rõhuerinevus objekti ülaosas ja objekti põhjas oleva vedeliku vahel. Objekti põhjas asuval vedelikul on kõrgem rõhk kui objekti ülaosas oleval vedelikul.
Joonisel on näha vees hõljuvat eset. Objekti põhjas oleva vedeliku rõhk on kõrgem kui objekti ülaosas asuval vedelikul. See on tingitud asjaolust, et objekti all olev vedelik on oluliselt sügavamal kui objekti kohal olev vedelik (p2 > h1).
Vedeliku rõhu suurus sügavusel h2 on :
Vedeliku rõhu suurus sügavusel h1 on :
F2 = vedeliku poolt objekti põhjale avaldatav jõud, F1 = vedeliku poolt objekti ülaosale avaldatav jõud, A = objekti pindala
F 2 ja F 1 vahe on vedeliku poolt objektile avaldatav kogujõud, mida tuntakse ujuvusjõuna. Ujuvusjõu suurus on:
F ujuvus = F 2 − F 1
F ujuvus = (ρ gh 2 A) − (ρ gh 1 A)
F ujuvus = ρ g A (h 2 − h 1 )
F ujuvus = ρ F g A h
F ujuvus = ρ F g V
ρ F = vedeliku tihedus, g = gravitatsioonikiirendus, V = vedelikus olevate objektide ruumala
Seega saame kirjutada võrrandi, mis näitab ülaltoodud ujuvuse suurust (F ujuvus):
F ujuvus = ρ F g V → m = ρ V
F ujuvus = m F g
F ujuvus = w F
m F g = w F = kastetud objekti mahuga sama ruumalaga vedeliku kaal.
Ülaltoodud võrrandi põhjal võime öelda, et üleslükkejõud on võrdne tõrjutava vedeliku kaaluga, tõrjutud vedeliku maht on sarnane vedelikku kastetud objekti mahuga.
Kui objekt sisestatakse vedelikku, hõljudes, kus sisestatud osa objektist on ainult osa,
siis väljatõrjutud vedeliku maht = vedelikku kastetud eseme osa maht. Olenemata esemest ja selle kujust kogevad kõik sama asja. See on Archimedese (287–212 eKr) töö tulemus, mida tuntakse Archimedese printsiibina.
Archimedese printsiip ütleb, et:
Kui objekt kastetakse täielikult või osaliselt vedelikku, annab vedelik objektile ülespoole suunatud jõu (ujuv jõud), kus ülespoole suunatud jõu (ujuv jõud) suurus võrdub väljatõrjutava vedeliku kaaluga.
Archimedese lugu
Archimedes, kes elas aastatel 287–212 eKr, sai kuningas Hieron II-lt ülesandeks uurida, kas kuningale valmistatud kroon oli puhtast kullast või mitte. Et teada saada, kas kroon on puhtast kullast või sisaldab see muid metalle, oli Archimedes alguses segaduses. Probleem on selles, et krooni kuju on ebakorrapärane ja seda ei saa esmalt hävitada, et teha kindlaks, kas kroon on puhtast kullast või mitte.
Selle kindlakstegemise mõte, kas kroon on valmistatud puhtast kullast või mitte, on kõigepealt määrata krooni kaal ja seejärel võrrelda seda kulla erikaaluga. Kui kroon on valmistatud puhtast kullast, siis krooni erikaal = kulla erikaal.
Objekti erikaal on objekti õhus oleva kaalu ja objektide mahuga sama mahuga vee kaalu suhe. Matemaatiliselt kirjapanduna:
Kuidas määrata vee kaalu, mille maht on sama kui esemete maht?
Archimedese järgi on vee kaal, mille ruumala on sama kui objekti ruumala, = ujuvusjõu suurus, kui objekt vajub (kogu osa objektist on vette kastetud). See on sama, mis objektide kaal, mis kaotatakse vees kaalumisel. Seega:
Krooni erikaalu määramiseks kaalutakse kroon kõigepealt õhus (krooni kaal õhus). Seejärel asetatakse kroon vette ja kaalutakse uuesti, et saada krooni kaotatud kaalu. Seega:
Pärast krooni erikaalu saamist võrreldakse seda kulla erikaaluga. Kulla erikaal = 19.3. Kui krooni erikaal = kulla erikaal, on kroon valmistatud puhtast kullast. Aga kui kroon ei ole valmistatud puhtast kullast, siis krooni erikaal ei ole sama, mis kulla erikaal.
Miks laev ei uppu?
Kui objekti tihedus on väiksem kui vee tihedus, siis objekt hõljub. Vastupidi, kui objekti tihedus on suurem kui vee tihedus, siis objekt uppub. Enamik laevu on valmistatud rauast ja terasest. Raua ja terase tihedus = 7.8 x 103 kg /m3 , samas kui vee tihedus = 1.00 x 103 kg /m3 . Näib, et raua ja terase tihedus on suurem kui vee tihedus. Sel juhul on raua ja terase erikaal = 7.8. Laev peaks uppuma. Miks laev ei uppu? Laeva kogutihedus on väiksem kui vee või merevee tihedus.
Näidisülesanne 1:
Tiigi põhjas on 40 kg massiga kivi. Kui kivi ruumala on 0.2 m3, siis milline on minimaalne jõud, mida on vaja kivi tõstmiseks?
Teatud:
Kivi mass (m) = 40 kg
Kivi maht (V) = 0.02 m3
Vee tihedus = 1000 kg/ m³
Raskuskiirendus (g) = 10 m/ s²
Otsitakse: vähemalt F
Lahendus:
F ujuvus = w F
F ujuvus = m F g → m = pV
F ujuvus = ρ F g V
F ujuvus = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0.02 m³ )
F ujuvus = 200 kg m/ s²
F ujuvus = 200 N
kivi kaal (w) = mg
kivi kaal = (40 kg)(10 m/ s² )
kivi kaal = 400 kg m/ s²
kivi kaal = 400 N
Kivi tõstmiseks vajalik minimaalne jõud :
kivi kaal – ujuvusjõud = 400 N – 200 N = 200 N
Näidisülesanne 2:
Objekti kaal vees = 5000 kg m/s² ja objekti kaal vees = 4000 kg m/s² . Kui objekti tihedus = 2000 kg/m³ , siis milline on objekti mass ja ruumala? g = 10 m/ s²
Lahendus
Raskuskiirendus (g) = 10 m/ s²
Objekti tihedus = 2000 kg/ m³
Vee tihedus = 1000 kg/ m³
Objekti kaal õhus = 5000 kg m/ s²
Objekti kaal vees = 4000 kg m/ s²
Ujuvusjõud (F buoyancy) = objekti kaal õhus – objekti kaal vees
F ujuvus = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F ujuvus = 1000 kg m/ s²
F ujuvus = väljatõrjutud vee kaal
F ujuvus = (vee mass) (g)
F ujuvus = (väljasurutatud vee maht) (vee tihedus) (g)
Väljasurutud vee maht = vees oleva objekti maht
Objekti ruumala = 0.1 m3
Objekti mass = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = (2000 kg / m 3 ) (0.1 m 3 )
m = 200 XNUMX kg
Objekti mass = 200 kg
Näidisülesanne 3:
Kui palju heeliumi on vaja, kui õhupall peab tõstma 500 kg raskust koormat?
Lahendus:
Heeliumi tihedus = 0.1786 kg/ m³
Õhu tihedus = 1.293 kg/ m³
Üleslükkejõud = väljatõrjutud õhu kaal = objekti kaal + heeliumi kaal
Ujuvusjõud = objekti kaal + heeliumi kaal
Üleslükkejõud = (koorma mass)(g) + (heeliumi mass)(g)
Üleslükkejõud = (lasti mass + heeliumi mass) g —- võrrand 1
Üleslükkejõud = väljatõrjutud õhu kaal
Üleslükkejõud = (väljatõrjutud õhu mass)(g) —- võrrand 2
Me ühendame võrrandi 1 ja võrrandi 2:
(lasti mass + heeliumi mass)(g) = (väljatõrjutud õhu mass)(g)
koormuse mass + heeliumi mass = väljatõrjutud õhu mass
500 kg + (ρ heelium)(V heelium) = (ρ vesi)(V vesi)
500 kg = (ρ vesi)(V vesi) – (ρ heelium)(V heelium)
Väljatõrjutud õhu maht (V õhk) = õhupallis oleva heeliumi maht (V heelium)
500 kg = (ρ vesi – ρ heelium) (V)
See on minimaalne heeliumi maht, mis on vajalik raskuste tõstmiseks Maa pinnal. Selleks, et õhupall kõrgemale hõljuks, tuleb heeliumi mahtu lisada. Heeliumi mahtu tuleb suurendada, sest õhu tihedus väheneb kõrgusega.
