Ejemplos de preguntas que analizan la varianza y la desviación estándar de datos de grupo.
Pendahuluán
En estadística, la varianza y la desviación estándar son dos medidas estadísticas cruciales para comprender la dispersión de los datos con respecto a la media. La varianza mide la dispersión de los datos con respecto a la media, mientras que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, lo que proporciona una medida en las mismas unidades que los datos originales.
Definición
– Varianza (σ² o S²): Es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de datos y la media de los datos.
– Desviación estándar (σ o S): Es la raíz cuadrada de la varianza.
Fórmula para la varianza y la desviación estándar de datos de grupo
Para datos de grupo, utilizamos la frecuencia de los datos en cada clase. Aquí está la fórmula:
Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Desviación estándar
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Dónde:
– \( f_i \) = frecuencia de cada clase.
– \( x_i \) = punto medio de cada clase.
– \( \bar{x} \) = el promedio de los datos del grupo.
– \( N \) = número total de datos.
Contoh Soal dan Pembahasan
Supongamos que tenemos datos de peso para un grupo de personas agrupadas en clases.
| Intervalo de peso (kg) | Frecuencia (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
El primer paso es determinar el punto medio de cada clase ( \( x_i \) ) y luego calcular la media (\( \bar{x} \)).
1. Cálculo del punto medio ( \( x_i \) )
\[ \text{Punto medio} = \frac{\text{Límite inferior} + \text{Límite superior}}{2} \]
| Intervalo de peso (kg) | Frecuencia (f) | Punto medio ( \( x_i \) ) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Cálculo del promedio ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Número total de datos \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Entonces, el promedio (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Cálculo de la varianza ( \( S^2 \) )
Necesitamos calcular \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{align }
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align}
\]
Multiplicando por frecuencia:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \times 33.64 = 168.2 \\
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 \times 17.64 = 123.48 \\
& 3 \times 84.64 = 253.92
\end{align}
\]
\[
∑ f_i (x_i – √x)² = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Ahora podemos calcular la varianza (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]
4. Cálculo de la desviación estándar ( \( S \) )
Desviación estándar ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
conclusión
A partir de los datos de ejemplo anteriores, tenemos:
– Cálculo del peso corporal promedio: 62.8 kg
– Cálculo de la varianza: 32.85 kg²
– Cálculo de la desviación estándar: 5.73 kg
La interpretación de la desviación estándar indica que la desviación promedio de los datos de peso con respecto a la media es de aproximadamente 5.73 kg. Esto muestra la dispersión de los datos en relación con la media, lo que puede ayudar a inferir la variabilidad de nuestros datos.
Un conocimiento profundo de la varianza y la desviación estándar es fundamental, especialmente para quienes trabajan en estadística, investigación y análisis de datos, ya que les permite comprender datos en forma de grupos o distribuciones. Saber cómo calcular e interpretar estas dos medidas facilita la toma de decisiones más acertadas basadas en los datos disponibles.
