Ejemplo de una pregunta de debate sobre la derivada de una función algebraica.
La derivada en cálculo es un concepto fundamental que se utiliza para describir cómo cambia una función, o la pendiente de una función en un punto. Las derivadas son útiles en diversos campos como la física, la economía y la ingeniería, ya que proporcionan información sobre la tasa de cambio. En este artículo, analizaremos varios ejemplos de derivadas de funciones algebraicas y cómo resolverlas.
Ejemplo 1: Derivada de una función polinómica
Pregunta: Dada la función \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \), determine la derivada de la función.
Solución:
Utilizando la regla básica de derivadas para funciones polinómicas, a saber, \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), calcularemos la derivada de cada término de la función uno por uno.
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align}
\]
Entonces, la derivada de \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) es \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
Ejemplo 2: Derivada de una función con exponentes fraccionarios
Pregunta: Determine la derivada de la función \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
Solución:
Utilizando la misma regla de derivación, es decir \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align}
\]
Entonces, la derivada de \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) es \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
Ejemplo 3: Derivadas de funciones exponenciales y trigonométricas
Pregunta: Determine la derivada de la función \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Solución:
Para resolver esta derivada, necesitamos la regla del producto, que establece \((uv)' = u'v + uv'\). Supongamos que \( u(x) = e^x \) y \( v(x) = \sin(x) \), entonces:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & \text{porque la derivada de } e^x \text{ es } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{porque la derivada de } \sin(x) \text{ es } \cos(x).
\end{align}
\]
Utilizando la regla derivada para productos:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align}
\]
Entonces, la derivada de \( h(x) = e^x \sin(x) \) es \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
Ejemplo 4: Derivada de una función mediante la regla de la cadena.
Pregunta: Determinar la derivada de la función \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
Solución:
Para resolver esta derivada, necesitamos la regla de la cadena, es decir, \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Supongamos que \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) y \( f(u) = u^5 \), entonces:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{entonces} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align}
\]
Utilizando la regla de la cadena:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align}
\]
Entonces, la derivada de \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) es \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
Ejemplo 5: Derivada de una función con identidades trigonométricas
Pregunta: Determine la derivada de la función \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Solución:
Utilizaremos la regla de la derivada para productos. Supongamos que \( u(x) = \sin(x) \) y \( v(x) = \cos(x) \), entonces:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align}
\]
Utilizando la regla derivada para productos:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align}
\]
Utilizando la identidad trigonométrica \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
Entonces, la derivada de \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) es \( m'(x) = \cos(2x) \).
conclusión
La derivada de una función algebraica es un concepto fundamental del cálculo, muy importante y útil en diversas aplicaciones. Varias reglas de derivación, como la regla básica de la derivada, la regla del producto, la regla de la cadena y las reglas para derivadas trigonométricas, ayudan a calcular las derivadas de funciones más complejas. Al comprender los ejemplos anteriores y practicar con problemas, podemos mejorar nuestra comprensión y habilidades para calcular derivadas de funciones algebraicas.
