Ejemplos de preguntas y análisis de la correlación producto-momento.
La correlación producto-momento, también conocida como correlación de Pearson, es un método estadístico que se utiliza para medir la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables. Este método resulta útil en diversos campos, desde la investigación académica y el análisis empresarial hasta la evaluación de experimentos en ciencias naturales. Este artículo abordará varios ejemplos y sus soluciones para el cálculo de la correlación producto-momento.
Pendahuluán
Antes de pasar a los ejemplos, conviene comprender el concepto básico de correlación de Pearson. La fórmula general utilizada para calcular el coeficiente de correlación de Pearson (\(r\)) es:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana
– \( n \) es el número de pares de datos.
– \( \sum{XY} \) es la suma de los productos de \( X \) y \( Y \).
– \( \sum{X} \) es la suma de las variables \( X \).
– \( \sum{Y} \) es la suma de las variables \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) es la suma de los cuadrados de la variable \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) es la suma de los cuadrados de la variable \( Y \).
El coeficiente de correlación de Pearson (r) siempre se encuentra entre -1 y 1. Una correlación positiva indica que ambas variables se mueven en la misma dirección, mientras que una correlación negativa indica que, a medida que una variable aumenta, la otra disminuye. Si r = 0, entonces no existe correlación lineal entre las dos variables.
Ejemplo de pregunta 1
Datos
A continuación se presentan los datos de las calificaciones de los exámenes de matemáticas y física de 5 estudiantes:
| Estudiante | Matemáticas (X) | Física (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Pasos para la resolución
1. Cálculo de componentes importantes:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Introducir en la fórmula:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Cálculo de resultados:
– Numerador: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Denominador:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
Por lo tanto, el coeficiente de correlación de Pearson entre las puntuaciones de las pruebas de matemáticas y física es de 0.633, lo que indica que existe una correlación positiva moderada entre las dos variables.
Ejemplo de pregunta 2
Datos
A continuación se presentan datos sobre el valor de las ventas y el gasto en publicidad durante 6 meses en una empresa:
| Mes | Publicidad (X) | Ventas (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Pasos para la resolución
1. Cálculo de componentes importantes:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Introducir en la fórmula:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Cálculo de resultados:
– Numerador: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Denominador:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
Por lo tanto, el coeficiente de correlación de Pearson entre el gasto en publicidad y el valor de las ventas es de 0.981, lo que indica que existe una correlación positiva muy fuerte entre las dos variables.
conclusión
El coeficiente de correlación de Pearson (r) es una herramienta muy útil para comprender la relación lineal entre dos variables. En los ejemplos proporcionados, veremos cómo calcular e interpretar el valor de r. Una correlación más alta (más cercana a 1 o -1) indica una relación más fuerte, mientras que una correlación más baja (más cercana a 0) indica una relación más débil. Es importante destacar que la correlación no implica causalidad; simplemente indica que existe una relación entre las dos variables.
