Teknikoj por Kalkuli la Medianon por Unuopaj kaj Grupigitaj Datumoj
La mediano estas mezuro de centra tendenco, kiu estas ofte uzata en statistiko. Male al la averaĝo (meza valoro), kiu sumigas ĉiujn valorojn kaj poste dividas per la nombro de valoroj, la mediano emfazas la "mezan valoron" de ordigita datuma aro. Pro sia fokuso sur pozicio, la mediano estas relative rezistema al ekstremaj valoroj (eksterordinaraj valoroj), kiel ekzemple kiam unu valoro estas tre granda aŭ tre malgranda kompare kun la aliaj. Tial la mediano estas vaste uzata en ekonomia datumanalizo, edukado, socia esplorado, kaj eĉ en taksado de testrezultoj.
En ĉi tiu artikolo, ni diskutos teknikojn por kalkuli la medianon por du specoj de datumoj: unuopaj datumoj (negrupigitaj) kaj grupigitaj datumoj (prezentitaj en tabelo de frekvenca distribuo). Aldone al la formulo, la diskuto inkluzivos praktikajn paŝojn por facila efektivigo.
-
1. Baza Koncepto de Mediano
La mediano estas la meza valoro post kiam la datumoj estas ordigitaj de la plej malgranda al la plej granda. Se la nombro de datenpunktoj estas nepara, la mediano estas la preciza meza valoro. Se la nombro de datenpunktoj estas para, la mediano estas la averaĝo de la du mezaj valoroj.
Intuicie, la mediano dividas la datumojn en du partojn:
– 50% de la datumoj estas sub (aŭ egalaj al) la mediano
– 50% de la datumoj estas super (aŭ egalaj al) la mediano
Ĉar la mediano estas ord-bazita, la unua paŝo, kiu preskaŭ ĉiam necesas, estas ordigi la datumojn.
-
2. Kalkulado de la mediano por unuopaj datumoj
Unuopaj datumoj estas datumoj prezentitaj kiaj ili estas (ekzemple listo de studentaj notoj), ne resumitaj en intervalaj klasoj kiel en grupaj datumoj.
A. Ĝeneralaj Paŝoj
1. Ordigu la datumojn de la plej malgranda ĝis la plej granda valoro.
2. Difinu la kvanton de datumoj, ekzemple n.
3. Difinu la pozicion de la mediano:
– Se n estas nepara, la mediano estas ĉe pozicio \((n+1)/2\).
– Se n estas para, la mediano estas la averaĝo de la datumoj ĉe pozicioj \(n/2\) kaj \((n/2)+1\).
B. Mediana Formulo por Unuopaj Datumoj
– Se n estas nepara:
\[
Mi = x_{(n+1)/2}
\]
Tio signifas, ke la mediano estas la datenvaloro en la \((n+1)/2\)-a ordo.
– Se n estas para:
\[
Mi = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Ekzemplo de Unuopaj Datumoj (n Neparaj)
Datumoj: 7, 2, 9, 4, 3
1) Ordigu: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (nepara)
3) Mediana pozicio = ((5+1)/2 = 3)
Mediano = 3a datumo = 4
Do la mediano de la datumoj estas 4.
D. Ekzemplo de Unuopaj Datumoj (n Paraj)
Datumoj: 10, 4, 6, 8
1) Ordigu: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (para)
3) La meza pozicio estas la 2a kaj 3a datumoj
Mediano = ((6 + 8)/2 = 7)
Do la mediano de la datumoj estas 7.
E. Grava Noto: Datumoj kun Ofteco
Iafoje unuopa datumaro povas esti donita kiel valoro kaj frekvenco (ekz., 60 aperas duoble, 70 aperas kvin fojojn). En ĉi tiu kazo, la mediano ankoraŭ troviĝas surbaze de la "ordigo" de la datumoj, sed ni povas uzi la akumulan frekvencon por determini la medianan pozicion sen listigi la datenpunktojn individue. La principo estas la sama: trovu la (n+1)/2-an pozicion (nepara) aŭ la (n/2) kaj (n/2)+1-an pozicion (para), poste rigardu la valorojn, kiuj kovras tiun pozicion, surbaze de la akumulita frekvenco.
-
3. Kalkulado de la mediano por grupigitaj datumoj
Grupigitaj datumoj estas datumoj, kiuj estis resumitaj en klasajn intervalojn kaj iliajn oftecojn. Ekzemple: 3 homoj kun alteco de 150–154 cm, 8 homoj kun alteco de 155–159 cm, kaj tiel plu. Male al unuopaj datumoj, la mediano de grupigitaj datumoj kutime ne estas precize determinita, ĉar ni ne konas la individuajn valorojn ene de la intervalo. Tial, la mediano estas kalkulata uzante aproksimadon (takso) uzante la medianan formulon por grupigitaj distribuoj.
A. Gravaj Terminoj en Grupaj Datumoj Mediano
Antaŭ ol uzi la formulon, ni bezonas kompreni plurajn komponantojn:
– n = totala frekvenco (tuta nombro de datumoj)
– n/2 = akumula mediana pozicio
– Mediana klaso = la unua intervala klaso kiu produktas akumulan frekvencon ≥ n/2
– L = malsupra rando de la mediana klaso (ne la malsupra limo, sed la klasrando; por kontinuaj datumoj kutime uzu 0,5-an alĝustigon se la datumoj estas entjeroj)
– F = akumula frekvenco antaŭ la mediana klaso
– f = mediana klasfrekvenco
– c = klaslongo (intervallarĝo)
B. Paŝoj por Determini la Medianon de Grupaj Datumoj
1. Kreu tabelon de frekvencdistribuo kaj aldonu kolumnon de akumula frekvenco.
2. Kalkulu n (nombron de frekvencoj) kaj determinu n/2.
3. Difinu la medianan klason, nome la klason kiu inkluzivas n/2 poziciojn bazitajn sur akumula frekvenco.
4. Enigu la valorojn en la medianan formulon por la grupaj datumoj.
C. Mediana Formulo por Grupaj Datumoj
\[
Mi = L + (n² – Ff) × c
\]
Ĉi tiu formulo plenumas linearan interpoladon ene de la mediana klaso, supozante ke la datumoj estas egale distribuitaj tra la klasintervalo.
D. Ekzemplo de Mediano de Grupaj Datumoj
Ekzemple, la jenaj datumoj pri testrezultoj:
| Valoro-Intervalo | Ofteco (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Totala frekvenco:
\[
n = 5+8+12+10+5 = 40
\]
2) Kalkulu n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Akumula frekvenco:
– 40–49: 5
– 50–59: 5+8 = 13
– 60–69: 13+12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Pozicio 20 estas en la klaso kun la unua akumula poentaro ≥ 20, nome 60–69. Do ĉi tio estas la mediana klaso.
4) Difinu la komponantojn:
– L = malsupra rando de mediana klaso. Por la intervalo 60–69, la malsupra rando estas 59,5 (se la datumoj estas entjera valoro).
– F = akumula frekvenco antaŭ la mediana klaso = 13
– f = mediana klasfrekvenco = 12
– c = klaslongo = 10
5) Enigu en la formulon:
\[
Mi = 59,5 + (20 – 13/12) × 10
\]
\[
Mi = 59,5 + (7/12) × 10
\]
\[
Mi = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Do la mediano de la grupdatumoj estas proksimume 65,33.
-
4. Oftaj Eraroj
Kelkaj oftaj eraroj dum kalkulado de la mediano:
1. Ne ordigante la datumojn laŭ unuopaj datumoj, do la meza valoro ne estas preciza.
2. Malĝuste determini la pozicion de la mediano kiam n estas para (nepras preni la averaĝon de la du mezaj valoroj).
3. Por grupaj datumoj, estas malĝuste elekti la medianan klason ĉar ĝi ne kreas akumulan frekvencon.
4. Uzante la malsupran limon de la klaso de malsupra rando (L) kiam la datumoj estas kontinuaj/intervalaj entjeroj.
5. Malĝusta determinado de la klaslongo (c), precipe se la intervaloj estas malkonsekvencaj.
-
5. Konkludo
La mediano estas simpla sed potenca mezuro de centra tendenco, precipe kiam la datumoj enhavas ekstremajn valorojn. Por unuopaj datumaroj, la mediano estas determinita rekte de la meza pozicio post kiam la datumoj estas ordigitaj, kun malsama traktado por neparaj kaj paraj nombroj de datumaroj. Dume, por grupigitaj datumaroj, la mediano estas kalkulata uzante interpoladan formulon bazitan sur la mediana klaso, akumula frekvenco kaj klaslongo.
Komprenante la koncepton kaj paŝojn, vi povas kalkuli la medianon rapide kaj precize, kaj sur simplaj datumoj kaj sur datumoj resumitaj en tabeloj. En multaj analizaj situacioj, la mediano estas pli reprezenta elekto ol la meznombro, precipe kiam la datumdistribuo estas nesimetria aŭ enhavas outlier-ojn.
Se vi volas, mi ankaŭ povas aldoni praktikajn demandojn kune kun diskutoj por plifortigi vian komprenon pri la mediano de unuopaj kaj grupaj datumoj.
