Ekzemplaj Demandoj kaj Diskuto: Varianco kaj Norma Devio de Unuopaj Datumoj
Statistiko estas branĉo de matematiko, kiu okupiĝas pri la kolektado, analizo, interpretado, prezentado kaj organizado de datumoj. Du gravaj konceptoj en statistiko estas varianco kaj norma devio. Ĉi tiu artikolo detale diskutos kiel kalkuli la variancon kaj norman devion de unuopa datumaro per pluraj ekzemplaj problemoj.
Kompreni Variancon kaj Norman Devion
Varianco estas mezuro kiu kvantigas kiom malproksime la nombroj en datumaro estas disigitaj de la meznombro aŭ averaĝo. Varianco estas esprimita en kvadrataj unuoj de la originalaj datumoj, kio ofte malfaciligas ĝian interpreton.
La norma devio estas la kvadrata radiko de la varianco. Ĝi provizas pli intuician mezuron pri kiom multe la datumoj ĝenerale devias de la meznombro, ĉar ĝiaj unuoj estas la samaj kiel la originalaj unuoj de la datumoj.
Ĝenerala Formulo
Por unuopaj datumoj, la formulo por la varianco σ² kaj norma devio σ de la populacio estas jena:
1. Varianco (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Norma Devio (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Kie:
– \(N\) estas la nombro de datumoj en la populacio.
– \(x_i \) estas la i-a datenvaloro.
– \( \mu \) estas la meznombro aŭ averaĝo de la datumoj.
Se ni kalkulas la variancon kaj norman devion de la specimeno, tiam la supra formulo estas iomete modifita:
1. Specimena Varianco (s²):
\(s^² = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^² \)
2. Specimena Norma Devio (j):
\(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Kie:
– \(n \) estas la nombro de datumoj en la specimeno.
– \( \bar{x} \) estas la meznombro aŭ averaĝo de la specimeno.
Specimenaj Demandoj kaj Diskuto
Ekzempla Demando 1:
Donite la jenajn datumojn:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Kalkulu la variancon kaj norman devion de la datumoj!
Solvaj Paŝoj:
1. Kalkulante la Meznombran Valoron (Meznombron) μ:
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Kalkulu la diferencon inter datumoj kaj la averaĝo, poste kvadraton:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Aldonante Ĉiujn Kvadratajn Rezultojn:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Kalkulado de Varianco (σ²) de Populaciaj Datumoj:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Noto: Ĉar ĉi tiuj datumoj estas deklaritaj kiel populaciaj datumoj, ni dividas per 6.
5. Kalkulante la Norman Devion (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \proksimume 1.886
\]
Do, la varianco de la datumoj estas 3.559 kaj la norma devio estas 1.886.
Ekzempla Demando 2:
Donitaj la jenaj ekzemplaj datumoj:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Kalkulu la variancon kaj norman devion de la specimeno!
Solvaj Paŝoj:
1. Kalkulante la Meznombran Valoron (Meznombron) \( \bar{x} \) :
\[
x = 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11/6 = 49/6 = 8.167
\]
2. Kalkulu la diferencon inter datumoj kaj la averaĝo, poste kvadraton:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Aldonante Ĉiujn Kvadratajn Rezultojn:
\[
\sumo (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Kalkulante la Specimenan Variancon (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Noto: Ĉar ĉi tio estas ekzemplaj datumoj, ni dividas per 5 (n-1).
5. Kalkulante Norman Devion (j):
\[
s = 5.351 → 2.313
\]
Do, la varianco de la specimenaj datumoj estas 5.351 kaj la norma devio estas 2.313.
Konkludo
Kalkuli variancon kaj norman devion estas esenca por kompreni kiom disigitaj estas datumoj ene de difinita aro. Dum varianco provizas teorian mezuron de disperso en kvadratoj de la originalaj unuoj, norma devio interpretas la mezuron de disperso laŭ la originalaj unuoj de la datumoj, faciligante ĝian komprenon. En datumanalizo, ĉi tiuj du mezuroj ofte estas uzataj por taksi datumŝanĝeblecon kaj fari statistikajn decidojn.
Komprenante la necesajn paŝojn kaj formulojn, ni povas facile kalkuli variancon kaj norman devion por diversaj situacioj, kiujn ni renkontas en ĉiutaga datenkolektado kaj analizo. Espereble, ĉi tiu artikolo provizas pli profundan komprenon pri la konceptoj de varianco kaj norma devio en unuopaj datumaroj.
